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二項變換

二項變換將序列 a_0, a_1, a_2, ... 轉換為序列 b_0, b_1, b_2, ... 透過以下變換

b_n=sum_(k=0)^n(-1)^(n-k)(n; k)a_k.

逆變換是

a_n=sum_(k=0)^n(n; k)b_k

(Sloane 和 Plouffe 1995, pp. 13 和 22)。當 n 為素數時，b_n=1，當 n 為合數時，b_n=0 的逆二項變換是 0, 1, 3, 6, 11, 20, 37, 70, ... (OEIS A052467)。當 n 為偶數時，b_n=1，當 n 為奇數時，b_n=0 的逆二項變換是 0, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, ... (OEIS A000079)。類似地，當 n 為奇數時，b_n=1，當 n 為偶數時，b_n=0 的逆二項變換是 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, ... (OEIS A000079)。貝爾數 1, 1, 2, 5, 15, 52, 203, ... (OEIS A000110) 的逆二項變換是相同數字的移位版本：1, 2, 5, 15, 52, 203, ... (Bernstein 和 Sloane 1995, Sloane 和 Plouffe 1995, p. 22)。

統計分佈的中心矩和原點矩也透過二項變換相關聯。

參見

二項式, 中心矩, 尤拉變換, 指數變換, 莫比烏斯變換, 原點矩

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參考文獻

Bernstein, M. 和 Sloane, N. J. A. "Some Canonical Sequences of Integers." Linear Algebra Appl. 226/228, 57-72, 1995.Sloane, N. J. A. "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences" 中的序列 A000079/M1129, A000110/M1484, 和 A052467。Sloane, N. J. A. 和 Plouffe, S. The Encyclopedia of Integer Sequences. San Diego, CA: Academic Press, 1995.

在 中被引用

二項變換

引用為

Weisstein, Eric W. "二項變換。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/BinomialTransform.html

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