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貝爾數

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將一個具有 n 個元素的集合劃分成非空子集的方式的數量稱為貝爾數，記為 B_n（不要與伯努利數混淆，伯努利數也通常記為 B_n）。

例如，數字 {1,2,3} 可以透過五種方式劃分：{{1},{2},{3}}， {{1,2},{3}}， {{1,3},{2}}， {{1},{2,3}}， 和 {{1,2,3}}，因此 B_3=5。

B_0=1，並且對於 n=1, 2, ... 的前幾個貝爾數是 1, 2, 5, 15, 52, 203, 877, 4140, 21147, 115975, ... (OEIS A000110)。對於 B_(10^n)，當 n=0, 1, ... 時，位數由 1, 6, 116, 1928, 27665, ... (OEIS A113015) 給出。

貝爾數在 Wolfram 語言中實現為BellB[n]。

儘管貝爾數傳統上歸因於 E. T. 貝爾，這源於他在 1934 年的論文（Bell 1934）中發展的一般理論，但對貝爾數的首次系統研究是由拉馬努金在他的第二本筆記本的第 3 章中進行的，大約比貝爾的工作早 25-30 年（B. C. Berndt，私人通訊，1 月 4 日和 13 日，2010 年）。

前幾個素貝爾數出現在索引 n=2, 3, 7, 13, 42, 55, 2841, ... (OEIS A051130)，並且沒有其他小於 30447 的數（Weisstein，2006 年 4 月 23 日）。這些索引對應的數字是 2, 5, 877, 27644437, ... (OEIS A051131)。B_(2841) 在 2004 年由 I. Larrosa Canestro 使用 橢圓曲線素性證明程式 PRIMO 經過 17 個月的計算後被證明是素數。

BellNumbers

貝爾數與卡塔蘭數密切相關。上面的圖表顯示了給出 B_3=5 和 B_4=15 的構造，線段表示同一子集中的元素，點表示包含單個元素的子集 (Dickau)。整數 B_n 可以透過以下總和定義

B_n=sum_(k=0)^nS(n,k),
(1)

其中 S(n,k) 是第二類斯特林數，即作為序列 1, 1, 1, ... 的斯特林變換。

貝爾數以廣義超幾何函式的形式給出：

B_n=e^(-1)_(n-1)F_(n-1)(2,...,2_()_(n-1);1,...,1_()_(n-1);1)
(2)

（K. A. Penson，私人通訊，2007 年 1 月 14 日）。

貝爾數也可以使用總和與遞推關係生成

B_n=sum_(k=0)^(n-1)B_k(n-1; k),
(3)

其中 (a; b) 是一個二項式係數，使用 Comtet (1974) 的公式

B_n=[e^(-1)sum_(m=1)^(2n)(m^n)/(m!)]
(4)

對於 n>0，其中 [x] 表示向上取整函式。Dobiński 公式給出了第 n 個貝爾數

B_n=1/esum_(k=0)^infty(k^n)/(k!).
(5)

Dobiński 公式的一個變體給出

B_n=sum_(k=1)^(n)(k^n)/(k!)sum_(j=0)^(n-k)((-1)^j)/(j!)
(6)
=sum_(m=1)^(n)(m^n!(n-m))/(Gamma(m+1)Gamma(n-m+1))
(7)

其中 !n 是一個錯位排列數 (Pitman 1997)。

雙重求和由下式給出

B_n=sum_(k=1)^nsum_(i=1)^k((-1)^(k-i)i^n)/(k!).
(8)

貝爾數由生成函式給出

G(x)=1/esum_(k=0)^(infty)1/((1-kx)k!)
(9)
=sum_(k=0)^(infty)(x^k)/((-x)^k((x-1)/x)_k)
(10)
=(_1F_1(-1/x;(x-1)/x;1))/e
(11)
=((-1)^(1/x)[xGamma(1-x^(-1))+Gamma(-x^(-1),-1)])/(ex)
(12)
=sum_(n=0)^(infty)B_nx^n
(13)
=1+x+2x^2+5x^3+15x^4+52x^5+...,
(14)

和指數生成函式

e^(e^x-1)=sum_(n=0)^infty(B_n)/(n!)x^n.
(15)

Cesàro (1885) 給出了一個驚人的 B_n 的積分表示：

B_n=(2n!)/(pie)I[int_0^pie^(e^(e^(ntheta)))sin(ntheta)dtheta]
(16)
=(2n!)/(pie)int_0^pie^(e^(costheta)cos(sint))sin[e^(costheta)sin(sintheta)]sin(ntheta)dtheta
(17)

(Becker 和 Browne 1941, Callan 2005)，其中 I[z] 表示 z 的虛部。

貝爾數 B_n 也等於 phi_n(1)，其中 phi_n(x) 是一個貝爾多項式。

de Bruijn (1981) 給出了漸近公式

(lnB_n)/n=lnn-lnlnn-1+(lnlnn)/(lnn)+1/(lnn)+1/2((lnlnn)/(lnn))^2+O[(lnlnn)/((lnn)^2)].
(18)

Lovász (1993) 表明該公式給出了漸近極限

B_n∼n^(-1/2)[lambda(n)]^(n+1/2)e^(lambda(n)-n-1),
(19)

其中 lambda(n) 由下式給出

lambda(n)=n/(W(n)),
(20)

其中 W(n) 是Lambert W 函式 (Graham et al. 1994, p. 493)。Odlyzko (1995) 給出了

B_n∼(n!)/(sqrt(2piW^2(n)e^(W(n))))(e^(e^(W(n))-1))/(W^n(n)).
(21)

Touchard 同餘指出

B_(p+k)=B_k+B_(k+1) (mod p),
(22)

當 p 是素數時。這對於 k=0 給出了一個特殊情況的同餘式

B_p=2 (mod p)
(23)

對於 n 為素數的情況。有人推測

B_(n+(p^p-1)/(p-1))=B_n (mod p)
(24)

給出了 B_n (mod p) 的最小週期。貝爾數序列 {B_1,B_2,...} 是週期性的 (Levine 和 Dalton 1962, Lunnon et al. 1979)，對於模數 m=1, 2, ...，週期由 1, 3, 13, 12, 781, 39, 137257, 24, 39, 2343, 28531167061, 156, ... (OEIS A054767) 給出。

貝爾數還具有以下奇特的性質

|B_0 B_1 B_2 ... B_n; B_1 B_2 B_3 ... B_(n+1); | | | ... |; B_n B_(n+1) B_(n+2) ... B_(2n)|=product_(i=1)^(n)i!
(25)
=G(n+2)
(26)

(Lenard 1992)，其中乘積只是一個超階乘，G(n) 是一個Barnes G 函式，對於 n=0, 1, 2, ...，前幾個 Barnes G 函式是 1, 1, 2, 12, 288, 34560, 24883200, ... (OEIS A000178)。

另請參閱

貝爾多項式, 貝爾三角形, 互補貝爾數, Dobiński 公式, 整數序列素數, 第二類斯特林數, Touchard 同餘

使用 探索

參考文獻

Becker, H. W. 和 Browne, D. E. "Problem E461 and Solution." Amer. Math. Monthly 48, 701-703, 1941.Bell, E. T. "Exponential Numbers." Amer. Math. Monthly 41, 411-419, 1934.Blasiak, P.; Penson, K. A.; 和 Solomon, A. I. "Dobiński-Type Relations and the Log-Normal Distribution." J. Phys. A: Math. Gen. 36, L273-278, 2003.Callan, D. "Cesàro's integral formula for the Bell numbers (corrected)." 2005 年 10 月 3 日。 http://www.stat.wisc.edu/~callan/papersother/cesaro/cesaro.pdf.Cesàro, M. E. "Sur une équation aux différences mêlées." Nouv. Ann. Math. 4, 36-40, 1885.Comtet, L. 高等組合學：有限與無限展開的藝術，修訂版。 多德雷赫特，荷蘭：Reidel, 1974.Conway, J. H. 和 Guy, R. K. 在 數字之書。 紐約：施普林格出版社，pp. 91-94, 1996.de Bruijn, N. G. 分析中的漸近方法。 紐約：多佛出版社，pp. 102-109, 1981.Dickau, R. M. "貝爾數圖。" http://mathforum.org/advanced/robertd/bell.html.Dickau, R. "Visualizing Combinatorial Enumeration." Mathematica in Educ. Res. 8, 11-18, 1999.Gardner, M. "The Tinkly Temple Bells." Ch. 2 在 來自科學美國人雜誌的分形音樂、超卡片和更多數學娛樂。 紐約：W. H. Freeman, pp. 24-38, 1992.Gould, H. W. 貝爾數和卡塔蘭數：兩個特殊數字序列的研究書目，第 6 版。 摩根敦，西弗吉尼亞州：Math Monongliae, 1985.Graham, R. L.; Knuth, D. E.; 和 Patashnik, O. 具體數學：計算機科學基礎，第 2 版。 雷丁，馬薩諸塞州：Addison-Wesley, 1994.Lenard, A. 在 來自科學美國人雜誌的分形音樂、超卡片和更多數學娛樂。 (M. Gardner)。紐約：W. H. Freeman, pp. 35-36, 1992.Larrosa Canestro, I. "Bell(2841) 是素數。" 2004 年 2 月 13 日。 http://groups.yahoo.com/group/primenumbers/message/14558.Levine, J. 和 Dalton, R. E. "最小週期，模 p，一階貝爾指數積分。" Math. Comput. 16, 416-423, 1962.Lovász, L. 組合問題與練習，第 2 版。 阿姆斯特丹，荷蘭：North-Holland, 1993.Lunnon, W. F.; Pleasants, P. A. B.; 和 Stephens, N. M. "複合模數下貝爾數的算術性質，I。" Acta Arith. 35, 1-16, 1979.Odlyzko, A. M. "漸近列舉方法。" 在 組合學手冊，第 2 卷 (Ed. R. L. Graham, M. Grötschel, 和 L. Lovász)。劍橋，馬薩諸塞州：麻省理工學院出版社，pp. 1063-1229, 1995. http://www.dtc.umn.edu/~odlyzko/doc/asymptotic.enum.pdf.Penson, K. A.; Blasiak, P.; Duchamp, G.; Horzela, A.; 和 Solomon, A. I. "Hierarchical Dobiński-Type Relations via Substitution and the Moment Problem." 2003 年 12 月 26 日。 http://www.arxiv.org/abs/quant-ph/0312202/.Pitman, J. "Some Probabilistic Aspects of Set Partitions." Amer. Math. Monthly 104, 201-209, 1997.Rota, G.-C. "The Number of Partitions of a Set." Amer. Math. Monthly 71, 498-504, 1964.Sixdeniers, J.-M.; Penson, K. A.; 和 Solomon, A. I. "Extended Bell and Stirling Numbers from Hypergeometric Functions." J. Integer Sequences 4, No. 01.1.4, 2001. http://www.math.uwaterloo.ca/JIS/VOL4/SIXDENIERS/bell.html.Sloane, N. J. A. 序列 A000110/M1484, A000178/M2049, A051130, A051131, A054767, 和 A113015 在 "整數序列線上百科全書" 中。Stanley, R. P. 列舉組合學，第 1 卷。 劍橋，英格蘭：劍橋大學出版社，pp. 33-34, 1999.Stanley, R. P. 列舉組合學，第 2 卷。 劍橋，英格蘭：劍橋大學出版社，p. 13, 1999.Wilson, D. "貝爾數問題。" math-fun@cs.arizona.edu 郵件列表。 2007 年 7 月 16 日。

在 上被引用

貝爾數

引用為

Weisstein, Eric W. "貝爾數。" 來自 網路資源。 https://mathworld.tw/BellNumber.html

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