主題
Search

互補貝爾數

DOWNLOAD Mathematica Notebook下載 Wolfram Notebook

互補貝爾數，也稱為 Uppuluri-Carpenter 數，

B^~_n=sum_(k=0)^n(-1)^kS(n,k)
(1)

其中 S(n,k) 是第二類斯特林數，透過類比貝爾數定義

B_n=sum_(k=0)^nS(n,k).
(2)

它們由下式給出

B^~_n=B_n(-1),
(3)

其中 B_n(x) 是貝爾多項式。

對於 n=0, 1, ..., 前幾個數是 1, -1, 0, 1, 1, -2, -9, -9, 50, 267, 413, ... (OEIS A000587)。

它們有生成函式

G(x)=ee^(-e^x)
(4)
=e^(1-e^x)
(5)
=1-x-1/6x^3+1/(24)x^4-1/(60)x^5-1/(80)x^6+....
(6)

它們有級數表示

B^~_n=esum_(k=0)^infty((-1)^kk^n)/(k!).
(7)

它們在 n=5, 36, 723, ... 時是素數（絕對值）(OEIS A118018)，對應於素數 2, 1454252568471818731501051, ... (OEIS A118019)，對於 n<=40968 沒有其他素數 (E. W. Weisstein, 2009年3月21日)。

另請參閱

貝爾數, 貝爾多項式, 整數序列素數, 第二類斯特林數

使用 探索

參考文獻

Beard, R. E. "關於 e^(e^t) 和 e^(-e^t) 展開式中的係數." J. Inst. Actuaries 76, 152-163, 1950.Bouillet, J. E. "廣義擴散方程：徑向對稱性和比較定理." J. Math. Anal. Appl. 96, 37-68, 1983.Harris, B. and Schoenfeld, L. "解析函式係數的漸近展開." Ill. J. Math. 12, 264-277, 1968.Klazar, M. "計數偶數和奇數劃分." Amer. Math. Monthly 110, 527-532, 2003.Klazar, M. "貝爾數、它們的親屬和代數微分方程." J. Combin. Th. A 102, 63-87, 2003.Kolokolnikova, N. A. "某些特殊數的和之間的關係." In 組合分析的漸近和列舉問題 (Ed. G. P. Egoryčev and M. L. Platonov). Krasnoyarsk, Soviet Union: Krasnojarsk. Gos. Univ., pp. 117-124, 1976.Sloane, N. J. A. 序列 A000587/M1913, A118018, 和 A118019 在 "整數序列線上百科全書" 中。Subbarao, M. V. and Verma, A. "關於乘積展開的一些評論。一個未被探索的劃分函式." In 符號計算、數論、特殊函式、物理學和組合學 (Gainesville, FL, 1999). Dordrecht, Netherlands: Kluwer, pp. 267-283, 2001.Uppuluri, V. R. R. and Carpenter, J. A. "由函式 exp(1-e^x) 生成的數." Fib. Quart. 7, 437-448, 1969.Yang, Y. "關於乘法劃分函式." Electron. J. Combin. 8, No. R19, 2001.

在 中被引用

互補貝爾數

請引用為

Weisstein, Eric W. "互補貝爾數." 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/ComplementaryBellNumber.html

主題分類