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貝爾多項式

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貝爾多項式有兩種。

ExponentialPolynomials

貝爾多項式 B_n(x)，也稱為指數多項式，記為 phi_n(x) (Bell 1934, Roman 1984, pp. 63-67)，是一個多項式 B_n(x)，它推廣了貝爾數 B_n 和互補貝爾數 B^~_n，使得

B_n(1)=B_n
(1)
B_n(-1)=B^~_n.
(2)

這些貝爾多項式推廣了指數函式。

貝爾多項式不應與伯努利多項式混淆，後者也通常記為 B_n(x)。

貝爾多項式在 Wolfram 語言中實現為BellB[n, x].

前幾個貝爾多項式是

B_0(x)=1
(3)
B_1(x)=x
(4)
B_2(x)=x^2+x
(5)
B_3(x)=x^3+3x^2+x
(6)
B_4(x)=x^4+6x^3+7x^2+x
(7)
B_5(x)=x^5+10x^4+25x^3+15x^2+x
(8)
B_6(x)=x^6+15x^5+65x^4+90x^3+31x^2+x
(9)

(OEIS A106800)。

{B_n(x)} 形成了相關的謝弗序列，用於

f(t)=ln(1+t),
(10)

因此，這些多項式具有指數生成函式

sum_(k=0)^infty(B_k(x))/(k!)t^k=e^((e^t-1)x).
(11)

生成函式 B_n(x) 的其他形式由下式給出

B_n(x)=e^(-x)sum_(k=0)^infty(k^nx^k)/(k!)
(12)

或

B_n(x)=xsum_(k=1)^n(n-1; k-1)B_(k-1)(x),
(13)

其中 B_0(x)=1，其中 (n; k) 是二項式係數。

貝爾多項式 B_n(x) 具有顯式公式

B_n(x)=sum_(k=0)^nS(n,k)x^k,
(14)

其中 S(n,k) 是第二類斯特林數。

一個漂亮的二項式和由下式給出

B_n(x+y)=sum_(k=0)^n(n; k)B_k(x)B_(n-k)(y),
(15)

其中 (n; k) 是二項式係數。

B_n(x) 的導數由下式給出

d/(dx)B_n(x)=(B_(n+1)(x))/x-B_n(x),
(16)

因此 B_n(x) 滿足遞推方程

B_(n+1)(x)=x[B_n(x)+B_n^'(x)].
(17)

第二類貝爾多項式 B_(n,k)(x_1,x_2,...) 定義為

B_(n,k)(x_1,x_2,...) =sum_(j_1+j_2+...=k; j_1+2j_2+...=n)(n!)/(j_1!j_2!...)((x_1)/(1!))^(j_1)((x_2)/(2!))^(j_2)....
(18)

它們具有生成函式

sum_(k=0)^infty(B_k(x;x_1,x_2,...))/(k!)t^k=e^x(sum_(k=1)^infty(x_k)/(k!)t^k).
(19)

另請參閱

精算多項式, 貝爾數, 互補貝爾數, 多賓斯基公式, 冪等數, 拉赫數, 謝弗序列, 第二類斯特林數

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參考文獻

Bell, E. T. "Exponential Polynomials." Ann. Math. 35, 258-277, 1934.Comtet, L. Advanced Combinatorics: The Art of Finite and Infinite Expansions, rev. enl. ed. Dordrecht, Netherlands: Reidel, p. 133, 1974.Riordan, J. An Introduction to Combinatorial Analysis. New York: Wiley, pp. pp. 35-38, 49, and 142, 1980.Roman, S. "The Exponential Polynomials" and "The Bell Polynomials." §4.1.3 and §4.1.8 in The Umbral Calculus. New York: Academic Press, pp. 63-67 and 82-87, 1984.Sloane, N. J. A. Sequence A106800 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."

在 中被引用

貝爾多項式

引用為

韋斯坦, 埃裡克·W. "貝爾多項式。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/BellPolynomial.html

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