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精算多項式

多項式 a_n^((beta))(x) 由具有以下條件的 謝弗序列 給出

g(t)=(1-t)^(-beta)
(1)
f(t)=ln(1-t),
(2)

給出 母函式

sum_(k=0)^infty(a_n^((beta)))/(k!)t^k=e^(x(1-e^t)+betat).
(3)

謝弗恆等式為

a_n^((beta))(x+y)=sum_(k=0)^n(n; k)a_k^((beta))(y)phi_(n-k)(-x),
(4)

其中 phi_n(x) 是一個 貝爾多項式。精算多項式用 貝爾多項式 phi_n(x) 表示為

a_n^((beta))(x)=(1-t)^betaphi_n(-x)
(5)
=sum_(k=0)^(n)(beta; k)phi_n^((k))(-x).
(6)

它們與 第二類斯特林數 S(n,m) 相關，關係式為

a_n^((beta))(x)=sum_(k=0)^n(beta; k)sum_(j=k)^nS(n,j)(j)_k(-x)^(j-k),
(7)

其中 (n; k) 是一個 二項式係數，(x)_n 是一個 遞降階乘。精算多項式也滿足恆等式

a_n^((beta))(-x)=e^(-x)sum_(k=0)^infty((k+beta)^n)/(k!)x^k
(8)

（Roman 1984，第 125 頁；Whittaker 和 Watson 1990，第 336 頁）。

前幾個多項式是

a_0^((beta))(x)=1
(9)
a_1^((beta))(x)=-x+beta
(10)
a_2^((beta))(x)=x^2-x(1+2beta)+beta^2
(11)
a_3^((beta))(x)=-x^3+3x^2(beta+1)-x(3beta^2+3beta+1)+beta^3.
(12)

另請參閱

謝弗序列

使用 探索

參考文獻

Boas, R. P. 和 Buck, R. C. 解析函式的多項式展開，第二版，勘誤 紐約：學術出版社，第 42 頁，1964 年。Erdélyi, A.; Magnus, W.; Oberhettinger, F.; 和 Tricomi, F. G. 高等超越函式，第 3 卷。 紐約：克里格出版社，第 254 頁，1981 年。Roman, S. “精算多項式。” §4.3.4 in 翁布拉演算。 紐約：學術出版社，第 123-125 頁，1984 年。Whittaker, E. T. 和 Watson, G. N. 現代分析教程，第 4 版。 英國劍橋：劍橋大學出版社，1990 年。

在 上被引用

精算多項式

引用為

Weisstein, Eric W. “精算多項式。” 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/ActuarialPolynomial.html

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