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謝弗序列

序列 s_n(x) 被稱為謝弗序列 當且僅當 其 生成函式 具有以下形式

sum_(k=0)^infty(s_k(x))/(k!)t^k=A(t)e^(xB(t)),
(1)

其中

A(t)=A_0+A_1t+A_2t^2+...
(2)
B(t)=B_1t+B_2t^2+...,
(3)

其中 A_0,B_1!=0。謝弗序列有時也稱為冪運算元 (Steffensen 1941, Shiu 1982, Di Bucchianico and Loeb 2000)。

如果 f(t) 是一個 delta 級數 且 g(t) 是一個可逆級數，則存在唯一的謝弗多項式序列 s_n(x) 滿足正交性條件

<g(t)[f(t)]^k|s_n(x)>=n!delta_(nk),
(4)

其中 delta_(nk) 是 克羅內克 delta (Roman 1984, p. 17)。謝弗序列的常見例子包括 精算多項式、第二類伯努利多項式、布林多項式、拉蓋爾多項式、第一類 和 第二類梅克斯納多項式、泊松-沙利耶多項式 和 斯特林多項式。

(1,f(t)) 的謝弗序列被稱為 f(t) 的關聯序列，Roman (1984, pp. 53-86) 總結了關聯謝弗序列的性質，並給出了許多具體示例 (阿貝爾多項式、貝爾多項式、中心階乘、貝爾多項式、下降階乘、古爾德多項式、馬勒多項式、米塔格-萊夫勒多項式、莫特多項式、冪多項式)。 (g(t),t) 的謝弗序列被稱為 g(t) 的 阿佩爾序列，Roman (1984, pp. 86-106) 總結了阿佩爾序列的性質，並給出了許多具體示例。

如果 s_n(x) 是 (g(t),f(t)) 的謝弗序列，則對於任何多項式 p(x)，

p(x)=sum_(k=0)^infty(<g(t)[f(t)]^k|p(x)>)/(k!)s_k(x).
(5)

序列 s_n(x) 是 (g(t),f(t)) 的謝弗序列 當且僅當

1/(g(f^_(t)))e^(yf^_(t))=sum_(k=0)^infty(s_k(y))/(k!)t^k
(6)

對於特徵為 0 的域 C 中的所有 y，其中 f^_(t) 是 f(t) 的複合 反函式 (Roman 1984, p. 18)。這個公式立即給出了與給定謝弗序列相關的 生成函式。

對於某些可逆的 g(t)，序列是 (g(t),f(t)) 的謝弗序列 當且僅當

f(t)s_n(x)=ns_(n-1)(x)
(7)

對於所有 n>=0 (Roman 1984, p. 20)。謝弗恆等式指出，對於某些可逆的 f(t)，序列 s_n(x) 是 (g(t),f(t)) 的謝弗序列 當且僅當 它滿足某種 二項式型序列

s_n(x+y)=sum_(k=0)^n(n; k)p_k(y)s_(n-k)(x)
(8)

對於 C 中的所有 y，其中 p_n(x) 與 f(t) 相關聯 (Roman 1984, p. 21)。謝弗序列的 遞推關係 由下式給出

s_(n+1)(x)=[x-(g^'(t))/(g(t))]1/(f^'(t))s_n(x)
(9)

(Roman 1984, p. 50)。一個非平凡的 遞推關係 由下式給出

s_(n+1)(x)=(x-b_n)s_n(x)-d_ns_(n-1)(x)
(10)

對於 s_(-1)(x)=0、s_0(x)=1 和 n>=0 (Meixner 1934; Sheffer 1939; Chihara 1978; Roman 1984, pp. 156-160)。

表示式中連線係數 c_(nk)

s_n(x)=sum_(k=0)^nc_(nk)r_k(n)
(11)

由下式給出

c_(nk)=1/(k!)<(h(f^(-1)(t)))/(g(f^(-1)(t)))[l(f^(-1)(t))]^k|x^n>,
(12)

其中 s_n(x) 是 (g(t),f(t)) 的謝弗序列，r_n(x) 是 (h(t),l(t)) 的謝弗序列。這也可以用係數多項式表示

t_n(x)=sum_(k=0)^nc_(nk)x^k,
(13)

它是以下形式的謝弗序列

((g(l^(-1)(t)))/(h(l^(-1)(t))),f(l^(-1)(t)))
(14)

(Roman 1984, pp. 132-138)。

形式為 如下形式 的倍增公式

r_n(ax)=sum_(k=0)^nc_(nk)r_k(x)
(15)

由下式給出

c_(nk)=1/(k!)<(h(al^(-1)(t)))/(h(l^(-1)(t)))[l(al^(-1)(t))]^k|x^n>,
(16)

其中 r_n(x) 是 (h(t),l(t)) 的謝弗序列 (Roman 1984, pp. 132-138)。

參見

阿佩爾交叉序列, 阿佩爾序列, 二項式型序列, 交叉序列, 斯蒂芬森序列, 恩布拉演算

使用 探索

參考資料

Chihara, T. S. An Introduction to Orthogonal Polynomials. New York: Gordon and Breach, 1978.Di Bucchianico, A. and Loeb, D. "A Selected Survey of Umbral Calculus." Electronic J. Combinatorics Dynamical Survey DS3, 1-34, April 2000. http://www.combinatorics.org/Surveys/#DS3.Meixner, J. "Orthogonale Polynomsystem mit linern besonderen Gestalt der eryengenden Funktion." J. London Math. Soc. 9, 6-13, 1934.Roman, S. "Sheffer Sequences." Ch. 2 and §4.3 in The Umbral Calculus. New York: Academic Press, pp. 2, 6-31, and 107-130, 1984.Rota, G.-C.; Kahaner, D.; Odlyzko, A. "On the Foundations of Combinatorial Theory. VIII: Finite Operator Calculus." J. Math. Anal. Appl. 42, 684-760, 1973.Sheffer, I. M. "Some Properties of Polynomial Sets of Type Zero." Duke Math. J. 5, 590-622, 1939.Shiu, E. S. W. "Steffensen's Poweroids." Scand. Actuar. J. 2, 123-128, 1982.Steffensen, J. F. "The Poweroid, an Extension of the Mathematical Notion of Power." Acta Math. 73, 333-366, 1941.

參考資料

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引用為

Weisstein, Eric W. “謝弗序列。”來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/ShefferSequence.html

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