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伯努利第二類多項式

多項式 b_n(x) 構成一個 謝弗序列 具有

g(t)=t/(e^t-1)
(1)
f(t)=e^t-1,
(2)

給出 生成函式

sum_(k=0)^infty(b_k(x))/(k!)t^k=(t(t+1)^x)/(ln(1+t)).
(3)

Roman (1984) 將 伯努利第二類數 定義為 b_n=b_n(0)。 它們與 第一類斯特林數 s(n,m) 透過以下公式相關聯

b_n(x)=b_n(0)+sum_(k=1)^nn/ks(n-1,k-1)x^k
(4)

(Roman 1984, p. 115)，並服從反射公式

b_n(1/2n-1-x)=(-1)^nb_n(1/2n-1+x)
(5)

(Roman 1984, p. 119)。

前幾個伯努利第二類多項式為

b_0(x)=1
(6)
b_1(x)=1/2(2x+1)
(7)
b_2(x)=1/6(6x^2-1)
(8)
b_3(x)=1/4(4x^3-6x^2+1)
(9)
b_4(x)=1/(30)(30x^4-120x^3+120x^2-19).
(10)

另請參閱

伯努利第二類數, 伯努利多項式, 謝弗序列, 第一類斯特林數

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參考文獻

Roman, S. "伯努利第二類多項式。" §5.3.2 在 影演算。 紐約：Academic Press, pp. 113-119, 1984。

在 中被引用

伯努利第二類多項式

引用為

Weisstein, Eric W. "伯努利第二類多項式。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/BernoulliPolynomialoftheSecondKind.html

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