Umbral Calculus

Roman (1984, p. 2) 將 umbral calculus 描述為 Sheffer 序列 類的研究。Umbral calculus 為多項式序列的幾乎所有經典組合恆等式的系統推導和分類提供了一種形式體系，以及相關的生成函式、展開式、倍增公式、遞推關係、反演、羅德里格斯表示等等，（例如，尤拉-麥克勞林積分公式、布林求和公式、楚-範德蒙恆等式、牛頓差商插值公式、格雷戈裡公式、拉格朗日反演）。

術語 “umbral calculus” 是由西爾維斯特根據單詞 “umbra”（拉丁語中意為“影子”）創造的，它反映了這樣一個事實：對於許多型別的涉及多項式序列的恆等式，其中包含冪 ，當多項式變為離散值且 中的指數變為降階乘 時，會獲得“影子”恆等式。

例如，以以下形式書寫的牛頓前向差分公式

(1)

其中 看起來非常像 泰勒級數 展開的有限模擬

(2)

其中 是微分運算元。類似地，楚-範德蒙恆等式

(3)

其中 是二項式係數，看起來非常像二項式定理的模擬

(4)

（Di Bucchianico 和 Loeb）。