法布魯諾公式

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法布魯諾公式給出了複合函式的 n 階導數的顯式方程。如果和是所有必要導數都已定義的函式，則：

(1)

其中，求和是對的所有分划進行的，即滿足以下條件 , ..., 的值：

(2)

(Roman 1980)。

它也可以用貝爾多項式表示為：

(3)

(M. Alekseyev, 私人通訊, 2006年11月3日)。

法布魯諾公式可以被置於一個框架中，該框架是霍普夫代數的一個特例 (Figueroa 和 Gracia-Bondía 2005)。

符號函式和的前幾個導數由下式給出：

			(4)
			(5)
			(6)

另請參閱

導數, 霍普夫代數, 萊布尼茨恆等式, 符號微積分

使用探索

更多嘗試

參考文獻

Bertrand, J. 微分與積分學教程, tome I. Paris: Gauthier-Villars, p. 138, 1864.Cesàro, E. "函式的函式的導數." Nouvelles Ann. 4, 41-45, 1885. Reprinted in Opere Scelte, Vol. 1. Rome: Edizioni Cremorese, pp. 416-429, 1964.Comtet, L. 高階組合數學：有限與無限展開的藝術，修訂增補版 Dordrecht, Netherlands: Reidel, pp. 137-139, 1974.Dederick. "幾個函式的函式的逐次導數." Ann. Math. 27, 385-394, 1926.Faà di Bruno, C. F.. "關於函式展開." Ann. di Scienze Matem. et Fisiche di Tortoloni 6, 479-480, 1855.Faà di Bruno, C. F.. "關於微分計算新公式的註釋." Quart. J. Math. 1, 359-360, 1857.Figueroa, H. and Gracia-Bondía, J. M. "量子場論中的組合霍普夫代數 I." 19 Mar 2005. http://arxiv.org/abs/hep-th/0408145.Français, J. F. "超越分析。關於導數計算，追溯到其真正原理，或函式展開理論，以及序列的返回." Ann. Math. 6, 61-111, 1815.Johnson, W. P. "法布魯諾公式的奇特歷史." Amer. Math. Monthly 109, 217-234, 2002.Joni, S. A. and Rota, C.-G. "法布魯諾雙代數." §IX in "Coalgebras and Bialgebras in Combinatorics." Umbral Calculus and Hopf Algebras. Contemp. Math. 6, 18-21, 1982.Jordan, C. 有限差分法，第三版 New York: Chelsea, p. 33, 1965.Knuth, D. E. 計算機程式設計藝術，第 1 卷：基本演算法，第三版 Reading, MA: Addison-Wesley, p. 50, 1997.Marchand, E. "關於變數的改變." Ann. École Normale Sup. 3, 137-188 and 343-388, 1886.Riordan, J. 組合分析導論 New York: Wiley, pp. 35-37, 1958.Roman, S. "法布魯諾公式." Amer. Math. Monthly 87, 805-809, 1980.Teixeira, F. G. "關於任意階導數." Giornale di Matem. di Battaglini 18, 306-316, 1880.Wall. "關於