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霍普夫代數

給定一個交換環 R，一個R-代數 H 是一個霍普夫代數，如果它具有由 R-代數同態給出的附加結構

Delta:H->H tensor _RH
(1)

（餘乘法）和

epsilon:H->R
(2)

（餘單位）以及一個 R-模 同態

lambda:H->H
(3)

（對極），它們滿足以下性質

1. 餘結合性

(I tensor Delta)Delta=(Delta tensor I)Delta:H-->H tensor H tensor H.
(4)

2. 餘單位性

m(I tensor epsilon)Delta=I=m(epsilon tensor I)Delta.
(5)

3. 對極性質

m(I tensor lambda)Delta=iotaepsilon=m(lambda tensor I)Delta,
(6)

其中 I 是 H 上的恆等對映，m:H tensor H-->H 是 H 中的乘法，而 iota:R->H 是 R-代數 H 的結構對映，也稱為單位對映。

Faà di Bruno 公式可以被投射到一個框架中，該框架是霍普夫代數的一個特例 (Figueroa and Gracia-Bondía 2005)。

HopfAlgebra1

餘結合性意味著上面的圖表是可交換的，意味著如果箭頭被反轉並且 m 被 Delta 交換，則將獲得說明 H 內乘法結合性的圖表。並且由於 iota 將基環 R 嵌入到 H 中，餘單位將 H 對映到 R。餘單位性屬性類似於 iota 滿足的對偶屬性。使用 epsilon 和 Delta，一個代數變成雙代數，但正是對極的新增使 H 成為霍普夫代數。對極應該被認為是 H 上的逆運算，類似於群中存在的逆運算，並且對極在代數和餘代數的層面上是反同態，這意味著

lambda(hh^')=lambda(h^')lambda(h)
(7)
Deltalambda(h)=(lambda tensor lambda)tauDelta,
(8)

其中 tau(h tensor h^')=h^' tensor h，這被稱為交換對映。此外，與群中的逆運算一樣，在許多情況下，對極是自對合。

霍普夫代數的原型例子是群環，其中 G 是一個有限群，並且 H=R[G] 是透過以下方式的霍普夫代數

Delta(g)=g tensor g
(9)
epsilon(g)=1_R
(10)
lambda(g)=g^(-1)
(11)

對於 g in G，並透過線性擴充套件到所有 R[G]。

對於一般的霍普夫代數，餘乘法以 Sweedler 記號給出。也就是說，如果 h in H，那麼

Delta(h)=sum_((h))h_((1)) tensor h_((2)),
(12)

這允許透過餘結合性

(I tensor Delta)Delta(h)=(Delta tensor I)Delta(h)
(13)
=sum_((h))h_((1)) tensor h_((2)) tensor h_((3)) in H tensor H tensor H
(14)

被明確地寫出。

HopfAlgebra2

霍普夫代數可以根據人們在代數之間做出的區分進行對偶化分類。例如，如果 H 是交換的，這等價於說 m:H tensor H->H 滿足屬性 m degreestau=m，其中 tau 是上面提到的交換對映。同樣地，如果 tau degreesDelta=Delta，即如果上面的圖表是可交換的，則稱霍普夫代數是餘交換的。此外，交換性和餘交換性是獨立的屬性，因此可以考慮滿足其中一個、兩者或兩者都不滿足的霍普夫代數。

此外，正如代數的線性對偶是一個代數一樣，霍普夫代數 H 的對偶也是一個霍普夫代數，其中 H 的代數結構變為 H^* 的餘代數結構，反之亦然，並且 H 的對極以規範的方式轉換為 H^* 的對極。

另請參閱

Faà di Bruno 公式, 霍普夫對映

此條目由 Timothy Kohl 貢獻

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參考文獻

Bergman, G. "Everybody Knows What a Hopf Algebra Is." Amer. Math. Soc. Contemp. Math 43, 25-48, 1985.Childs, L. Taming Wild Extensions: Hopf Algebras and Local Galois Module Theory. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 2000.Figueroa, H. and Gracia-Bondía, J. M. "Combinatorial Hopf Algebras in Quantum Field Theory I." 19 Mar 2005. http://arxiv.org/abs/hep-th/0408145.Kassel, C. Quantum Groups. New York: Springer-Verlag, 1995.Montgomery, S. Hopf Algebras and Their Actions on Rings. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1993.Sweedler, M. E. Hopf Algebras. Reading, MA: Addison-Wesley, 1969.

在 上被引用

霍普夫代數

請引用為

Kohl, Timothy. "霍普夫代數。" 來自 —— 資源，由 Eric W. Weisstein 建立。 https://mathworld.tw/HopfAlgebra.html

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