霍普夫對映

發現的第一個從高維球面到低維球面的對映的例子，該對映不是零倫的。它的發現震驚了數學界，因為當時人們認為，與同調群類似，所有這樣的對映都是零倫的。

霍普夫對映 出現在許多上下文中，並且可以推廣到對映 。對於球面上的任何點 ，其原像 是 中的一個圓 。 霍普夫對映有幾種描述，也稱為霍普夫纖維化。

作為 的子流形，3-球面是

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並且 2-球面是 的子流形，

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霍普夫對映將 3-球面上的點 (, , , ) 對映到 2-球面上的點 (, , )

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2-球面上的每個點都對應於 3-球面上的一個圓，稱為霍普夫圓。

透過球極投影，3-球面可以對映到 ，其中無窮遠點對應於北極。 作為從 的對映，霍普夫對映可能非常複雜。上面的圖表顯示了一些原像 ，稱為霍普夫圓。 直線紅線是透過無窮遠的圓。

透過將 與 關聯，該對映由 給出，這給出了到黎曼球面的對映。

霍普夫纖維化是一個纖維化

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實際上是一個主叢。 相關的向量叢

(7)

其中

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是 上的復線叢。 實際上，球面上的線叢集合在向量叢張量積下形成一個群，並且叢 生成所有這些線叢。 也就是說，球面上的每個線叢都是 對於某個 。

球面 是單位四元數的李群，並且可以等同於特殊酉群 ，它是 的單連通雙重覆蓋。 霍普夫叢是商對映 。