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四元數

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四元數是由威廉·羅文·漢密爾頓首次發明的非交換 除法代數 的成員。漢密爾頓在前往愛爾蘭科學院會議的路上沿著皇家運河散步時，想到了四元數的概念。漢密爾頓對他的發現非常滿意，以至於他將四元數代數的基本公式刻在了

i^2=j^2=k^2=ijk=-1,
(1)

布魯厄姆橋的石頭上（Mishchenko 和 Solovyov 2000）。四元數的集合用 H, H, 或 Q_8 表示，四元數是由漢密爾頓發現的更一般的 超複數 類別的單個示例。雖然四元數不是可交換的，但它們是結合的，並且它們形成一個稱為 群 的 四元數群。

類似於 複數 可以表示為 實部 和 虛部 之和，a·1+bi，四元數也可以寫成線性組合

H=a·1+bi+cj+dk.
(2)

四元數 a+bi+cj+dk 在四元數[a, b, c, d] 在 Wolfram 語言 包中實現為Quaternions`但是，其中 a, b, c, 和 d 必須是顯式實數。另請注意，NonCommutativeMultiply(即，**) 必須用於這些物件的乘法，而不是通常的乘法（即，*).

在四元數空間中可以探索各種 分形。例如，固定 j=k=0 得到複平面，從而得到 曼德勃羅集。透過將 j 或 k 固定為不同的值，已經產生了三維四元數分形（Sandin et al. , Meyer 2002, Holdaway 2006）。

四元數可以使用複數 2×2 矩陣 表示

H=[z w; -w^_ z^_]=[a+ib c+id; -c+id a-ib],
(3)

其中 z 和 w 是 複數，a, b, c, 和 d 是 實數，並且 z^_ 是 z 的 複共軛。

四元數也可以使用複數 2×2 矩陣表示

U=[1 0; 0 1]
(4)
I=[i 0; 0 -i]
(5)
J=[0 1; -1 0]
(6)
K=[0 i; i 0]
(7)

（Arfken 1985，第 185 頁）。請注意，這裡 U 用於表示 單位矩陣，而不是 I。這些矩陣與 泡利矩陣 sigma_x, sigma_y, 和 sigma_z 以及 單位矩陣 密切相關。

從上面的定義可以得出：

I^2=-U
(8)
J^2=-U
(9)
K^2=-U.
(10)

因此，I, J, 和 K 是矩陣方程的三個本質上不同的解

X^2=-U,
(11)

這可以被認為是負單位矩陣的平方根。具有整數係數的基四元數的 線性組合 有時稱為 哈密頓整數。

在 R^4 中，四元數的基可以由下式給出

i=[0 1 0 0; -1 0 0 0; 0 0 0 1; 0 0 -1 0]
(12)
j=[0 0 0 -1; 0 0 -1 0; 0 1 0 0; 1 0 0 0]
(13)
k=[0 0 -1 0; 0 0 0 1; 1 0 0 0; 0 -1 0 0]
(14)
1=[1 0 0 0; 0 1 0 0; 0 0 1 0; 0 0 0 1].
(15)

四元數滿足以下恆等式，有時稱為 漢密爾頓規則，

i^2=j^2=k^2=-1
(16)
ij=-ji=k
(17)
jk=-kj=i
(18)
ki=-ik=j.
(19)

它們具有以下乘法表。

1ijk
11ijk
ii-1k-j
jj-k-1i
kkj-i-1

四元數 +/-1, +/-i, +/-j, 和 +/-k 形成一個階數為 8 的 非阿貝爾 群（以乘法作為群運算）。

四元數可以寫成以下形式

a=a_1+a_2i+a_3j+a_4k.
(20)

四元數共軛 由下式給出

a^_=a_1-a_2i-a_3j-a_4k.
(21)

那麼，兩個四元數的和為

a+b=(a_1+b_1)+(a_2+b_2)i+(a_3+b_3)j+(a_4+b_4)k,
(22)

並且兩個四元數的乘積為

ab=(a_1b_1-a_2b_2-a_3b_3-a_4b_4)+(a_1b_2+a_2b_1+a_3b_4-a_4b_3)i+(a_1b_3-a_2b_4+a_3b_1+a_4b_2)j+(a_1b_4+a_2b_3-a_3b_2+a_4b_1)k.
(23)

四元數範數 因此定義為

n(a)=sqrt(a^_a)=sqrt(a_1^2+a_2^2+a_3^2+a_4^2).
(24)

在這種表示法中，四元數與 四維向量 密切相關。

透過寫作，四元數可以解釋為 標量 加上 向量

a=a_1+a_2i+a_3j+a_4k=(a_1,a),
(25)

其中 a=[a_2a_3a_4]。在這種表示法中，四元數乘法具有特別簡單的形式

q_1q_2=(s_1,v_1)·(s_2,v_2)
(26)
=(s_1s_2-v_1·v_2,s_1v_2+s_2v_1+v_1xv_2).
(27)

除法是唯一確定的（零除外），因此四元數構成一個 除法代數。四元數的倒數（倒數）由下式給出

a^(-1)=(a^_)/([n(a)]^2),
(28)

並且範數是乘法的

n(ab)=n(a)n(b).
(29)

事實上，兩個四元數範數的乘積立即給出了 尤拉四平方恆等式。

可以使用四元數計算繞 單位向量 n^^ 旋轉角度 theta 的旋轉

q=(s,v)=(cos(1/2theta),n^^sin(1/2theta))
(30)

（Arvo 1994，Hearn 和 Baker 1996）。此四元數的組成部分稱為 尤拉引數。旋轉後，點 p=(0,p) 由下式給出

p^'=qpq^(-1)=qpq^_,
(31)

因為 n(q)=1。兩個旋轉的串聯，先是 q_1，然後是 q_2，可以使用恆等式計算

q_2(q_1pq^__1)q^__2=(q_2q_1)p(q^__1q^__2)=(q_2q_1)pq_2q_1^_
(32)

（Goldstein 1980）。

參見

雙四元數, 卡萊-克萊因引數, 複數, 除法代數, 尤拉引數, 四維向量, 哈密頓整數, 超複數, 八元數, 四元數共軛, 四元數群, 四元數範數 在 課堂中探索此主題

使用 探索

參考文獻

Altmann, S. L. 旋轉、四元數和雙群。 Oxford, England: Clarendon Press, 1986.Arfken, G. 物理學家的數學方法，第 3 版。 Orlando, FL: Academic Press, 1985.Arvo, J. 圖形寶石 II。 New York: Academic Press, pp. 351-354 和 377-380, 1994.Baker, A. L. 作為代數運算結果的四元數。 New York: Van Nostrand, 1911.Conway, J. H. and Guy, R. K. 數字之書。 New York:Springer-Verlag, pp. 230-234, 1996.Conway, J. and Smith, D. 關於四元數和八元數。 Wellesley, MA: A K Peters, 2001.Crowe, M. J. 向量分析史：向量系統思想的演變。 New York: Dover, 1994.Dickson, L. E. 代數及其算術。 New York: Dover, 1960.Downs, L. "CS184：使用四元數表示旋轉。" http://www-inst.eecs.berkeley.edu/~cs184/sp08/lectures/05-3DTRansformations.pdf.Du Val, P. 射影變換、四元數和旋轉。 Oxford, England: Oxford University Press, 1964.Ebbinghaus, H. D.; Hirzebruch, F.; Hermes, H.; Prestel, A; Koecher, M.; Mainzer, M.; and Remmert, R. 數。 New York:Springer-Verlag, 1990.Goldstein, H. 經典力學，第 2 版。 Reading, MA: Addison-Wesley, p. 151, 1980.Hamilton, W. R. 四元數講義：包含一種新的數學方法的系統陳述。 Dublin: Hodges and Smith, 1853.Hamilton, W. R. 四元數要素。 London: Longmans, Green, 1866.Hamilton, W. R. 威廉·羅文·漢密爾頓爵士的數學論文。 Cambridge, England: Cambridge University Press, 1967.Hardy, A. S. 四元數要素。 Boston, MA: Ginn, Heath, & Co., 1881.Hardy, G. H. and Wright, E. M. "四元數。" §20.6 in 數論導論，第 5 版。 Oxford, England: Clarendon Press, pp. 303-306, 1979.Hearn, D. and Baker, M. P. 計算機圖形學：C 版本，第 2 版。 Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, pp. 419-420 和 617-618, 1996.Holdaway, L. "四元數遍歷。" 2006. http://www.bluestarfolly.com/art/quaternion.html.Meyer, D. "三維分形（四元數分形）。" Nov. 10, 2002. http://www.physcip.uni-stuttgart.de/phy11733/index_e.html.Joly, C. J. 四元數手冊。 London: Macmillan, 1905.Julstrom, B. A. "使用實四元數表示三維旋轉。" UMAP Modules in Undergraduate Mathematics and Its Applications, Module 652. Lexington, MA: COMAP, Inc., 1992.Kelland, P. and Tait, P. G. 四元數導論，第 3 版。 London: Macmillan, 1904.Kuipers, J. B. 四元數和旋轉序列：軌道、航空航天和虛擬現實應用入門。 Princeton, NJ: Princeton University Press, 1998.Mishchenko, A. and Solovyov, Y. "Quaternions." Quantum 11, 4-7 和 18, 2000.Nicholson, W. K. 抽象代數導論，第 2 版。 New York: Wiley, 1999.Salamin, G. Item 107 in Beeler, M.; Gosper, R. W.; and Schroeppel, R. HAKMEM. Cambridge, MA: MIT Artificial Intelligence Laboratory, Memo AIM-239, pp. 46-47, Feb. 1972. http://www.inwap.com/pdp10/hbaker/hakmem/quaternions.html#item107.Sandin, D.; Dang, Y.; Kauffman, L.; and DeFanti, T. "四元數朱利亞集之鑽石。" http://www.evl.uic.edu/hypercomplex/html/diamond.html.Shoemake, K. "使用四元數曲線動畫旋轉。" Computer Graphics 19, 245-254, 1985.Smith, H. J. "大眾的四元數。" http://www.geocities.com/hjsmithh/Quatdoc/Qindex.html.Tait, P. G. 四元數簡明教程，第 3 版，增補版。 Cambridge, England: Cambridge University Press, 1890.Tait, P. G. "Quaternions." Encyclopædia Britannica, 9th ed. 1886. Reprinted in Tait, P. §CXXIX in Scientific Papers, Vol. 2. pp. 445-456. http://www.ldc.usb.ve/~vtheok/cursos/ci5322/quaternion/quaternions.pdf.Weisstein, E. W. "關於四元數的書籍。" http://www.ericweisstein.com/encyclopedias/books/Quaternions.html.Wolfram, S. 一種新科學。 Champaign, IL: Wolfram Media, p. 1168, 2002.

在 中引用

四元數

請引用為

韋斯坦因，埃裡克·W. "四元數。" 來自 —— 資源。 https://mathworld.tw/Quaternion.html

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