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尤拉引數

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描述繞任意軸有限旋轉的四個引數 e_0, e_1, e_2, 和 e_3。 尤拉引數定義為

e_0=cos(phi/2)
(1)
e=[e_1; e_2; e_3]
(2)
=n^^sin(phi/2),
(3)

其中 n^^ 是單位法向量，並且是以標量-向量表示的四元數

(e_0,e)=e_0+e_1i+e_2j+e_3k.
(4)

因為尤拉旋轉定理指出，任意旋轉可以用僅三個引數描述，因此這四個量之間必然存在關係

e_0^2+e·e=e_0^2+e_1^2+e_2^2+e_3^2
(5)
=1
(6)

(Goldstein 1980, 第 153 頁)。 旋轉角與尤拉引數的關係為

cosphi=2e_0^2-1
(7)
=e_0^2-e·e
(8)
=e_0^2-e_1^2-e_2^2-e_3^2
(9)

and

n^^sinphi=2ee_0.
(10)

尤拉引數可以用尤拉角表示為

e_0=cos[1/2(phi+psi)]cos(1/2theta)
(11)
e_1=cos[1/2(phi-psi)]sin(1/2theta)
(12)
e_2=sin[1/2(phi-psi)]sin(1/2theta)
(13)
e_3=sin[1/2(phi+psi)]cos(1/2theta)
(14)

(Goldstein 1980, 第 155 頁)。

使用尤拉引數，旋轉公式變為

r^'=r(e_0^2-e_1^2-e_2^2-e_3^2)+2e(e·r)+(r×n^^)sinphi,
(15)

並且旋轉矩陣變為

[x^'; y^'; z^']=A[x; y; z],
(16)

其中矩陣的元素為

a_(ij)=delta_(ij)(e_0^2-e_ke_k)+2e_ie_j+2epsilon_(ijk)e_0e_k.
(17)

這裡使用了愛因斯坦求和約定，delta_(ij) 是克羅內克 delta，並且 epsilon_(ijk) 是置換符號。 顯式寫出，矩陣元素為

a_(11)=e_0^2+e_1^2-e_2^2-e_3^2
(18)
a_(12)=2(e_1e_2+e_0e_3)
(19)
a_(13)=2(e_1e_3-e_0e_2)
(20)
a_(21)=2(e_1e_2-e_0e_3)
(21)
a_(22)=e_0^2-e_1^2+e_2^2-e_3^2
(22)
a_(23)=2(e_2e_3+e_0e_1)
(23)
a_(31)=2(e_1e_3+e_0e_2)
(24)
a_(32)=2(e_2e_3-e_0e_1)
(25)
a_(33)=e_0^2-e_1^2-e_2^2+e_3^2.
(26)

另請參閱

尤拉角, 四元數, 旋轉公式, 旋轉矩陣

使用 探索

參考文獻

Arfken, G. Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp. 198-200, 1985.Goldstein, H. Classical Mechanics, 2nd ed. Reading, MA: Addison-Wesley, 1980.Landau, L. D. and Lifschitz, E. M. Mechanics, 3rd ed. Oxford, England: Pergamon Press, 1976.

在 中被引用

尤拉引數

引用為

Weisstein, Eric W. "尤拉引數。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/EulerParameters.html

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