旋轉矩陣 -- 來自 - 數學天地

當討論旋轉時，有兩種可能的約定：座標軸的旋轉，以及物體相對於固定座標軸的旋轉。

在中，考慮將給定向量在固定座標系中逆時針旋轉角度的矩陣。那麼

(1)

所以

(2)

這是 Wolfram 語言命令使用的約定RotationMatrix[theta]。

另一方面，考慮將座標系逆時針旋轉角度的矩陣。固定向量在旋轉座標系中的座標現在由一個旋轉矩陣給出，該矩陣是固定軸矩陣的轉置，並且正如在上面的圖中可以看到的，這等效於將向量相對於一組固定軸逆時針旋轉角度，得到

(3)

這是教科書中常用的約定，例如 Arfken (1985, p. 195)。

在中，當朝向原點看時，座標系繞 x-軸、y-軸和 z-軸逆時針方向旋轉的矩陣為

			(4)
			(5)
			(6)

(Goldstein 1980, pp. 146-147 和 608; Arfken 1985, pp. 199-200)。

任何旋轉都可以表示為繞三個軸旋轉的組合（尤拉旋轉定理），因此可以用作用於向量的矩陣表示，

[x_1^'; x_2^'; x_3^']=[a_(11) a_(12) a_(13); a_(21) a_(22) a_(23); a_(31) a_(32) a_(33)][x_1; x_2; x_3].

(7)

我們希望對這個矩陣施加條件，使其與正交變換（基本上是旋轉或反演旋轉）相一致。

在旋轉中，向量必須保持其原始長度，因此必須滿足

(8)

對於 , 2, 3，其中使用了愛因斯坦求和約定。因此，從變換方程，

(9)

這可以重新排列為

			(10)
			(11)
			(12)

為了使這個成立，必須滿足

(13)

對於 , 2, 3，其中是克羅內克 delta。這被稱為正交性條件，它保證

(14)

並且

(15)

其中是轉置，是單位矩陣。方程 (15) 是賦予正交矩陣名稱的恆等式。正交矩陣具有特殊的性質，使得它們可以特別容易地被操作和識別。

設和是兩個正交矩陣。根據正交性條件，它們滿足

(16)

並且

(17)

其中是克羅內克 delta。現在

			(18)
			(19)
			(20)
			(21)
			(22)
			(23)

因此，兩個正交矩陣的乘積也是正交的。

正交旋轉矩陣的特徵值必須滿足以下條件之一

1. 所有特徵值都是 1。

2. 一個特徵值是 1，另外兩個是。

3. 一個特徵值是 1，另外兩個是複共軛，形式為和。

如果滿足以下條件，則正交矩陣被分類為真（對應於純旋轉）

(24)

其中是的行列式，或者如果滿足以下條件，則為反演（對應於反演和可能的旋轉；反演旋轉）

(25)

旋轉矩陣

另請參閱

使用探索

參考文獻

在上引用

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