尤拉角

根據 尤拉旋轉定理，任何 旋轉 都可以用三個 角來描述。如果 旋轉 用 旋轉矩陣 、 和 表示，那麼一般 旋轉 可以寫成

給出三個旋轉矩陣的三個角稱為尤拉角。尤拉角有幾種約定，取決於旋轉所繞的軸。將矩陣 寫成

上面所示的所謂“-約定”是最常見的定義。在這個約定中，由尤拉角 給出的旋轉，其中

1. 第一次旋轉是繞 z 軸旋轉角度 ，使用 ，

2. 第二次旋轉是繞先前的 x 軸（現在是 ）旋轉角度 ， 在 [0,pi] 範圍內，使用 ，以及

3. 第三次旋轉是繞先前的 z 軸（現在是 ）旋轉角度 ，使用 。

然而，請注意，角的幾種符號約定是通用的。Goldstein (1980, pp. 145-148) 和 Landau and Lifschitz (1976) 使用 ，Tuma (1974) 說 在航空工程中用於分析航天器（但聲稱 用於分析陀螺運動），而 Bate et al. (1971) 使用 。Goldstein 評論說，歐洲大陸的作者通常使用 ，並警告說偶爾也會使用左手座標系 (Osgood 1937, Margenau and Murphy 1956-64)。Varshalovich (1988, pp. 21-23) 使用符號 或 來表示尤拉角，並給出了三種不同的角度約定，沒有一種對應於 -約定。

在這裡，使用符號 ，這是一種可以在 6 之前的 Wolfram 語言 版本中使用的約定，如RotationMatrix3D[phi, theta, psi]（可以在載入後執行Geometry`Rotations`）以及RotateShape[g, phi, theta, psi]（可以在載入後執行Geometry`Shapes`）。在 -約定中，分量旋轉由下式給出

所以

為了獲得 角速度 在本體座標系中的分量，請注意對於 矩陣

這是成立的

現在， 對應於繞 軸的旋轉，所以檢視 的 分量，

交點線對應於繞 軸旋轉 ，所以檢視 的 分量，

類似地，要找到繞剩餘軸旋轉 ，請檢視 的 分量，

結合這些部分得到

更多細節，請參見 Goldstein (1980, p. 176) 和 Landau and Lifschitz (1976, p. 111)。

-約定尤拉角由 Cayley-Klein 引數 表示為

在“-約定”中，

因此，

給出旋轉矩陣

並且 由下式給出

在 “ (俯仰-滾轉-偏航) 約定”中， 是俯仰角， 是滾轉角， 是偏航角。

並且 由下式給出

有時使用一組引數代替角，即 尤拉引數 、 、 和 ，定義為

使用 尤拉引數（它們是四元數），可以由下式描述任意旋轉矩陣

(Goldstein 1980, p. 153)。

如果已知兩組 個點 和 的座標，一組相對於另一組旋轉，那麼可以使用 最小二乘擬合 以直接的方式獲得尤拉旋轉矩陣。將點寫成向量陣列，因此

將向量陣列寫成矩陣得到

並且求解 得到

然而，我們想要的是角 、 和 ，而不是它們在矩陣 中包含的組合。因此，將 矩陣

作為 向量

現在設定矩陣

然後使用 非線性最小二乘擬合 給出收斂到 的解。