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Cayley-Klein 引數

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引數 alpha, beta, gamma, 和 delta，它們像三個尤拉角一樣，提供了一種獨特描述剛體方向的方法。這些引數滿足以下恆等式

alphaalpha^_+gammagamma^_=1
(1)
alphaalpha^_+betabeta^_=1
(2)
betabeta^_+deltadelta^_=1
(3)
alpha^_beta+gamma^_delta=0
(4)
alphadelta-betagamma=1
(5)

和

beta=-gamma^_
(6)
delta=alpha^_,
(7)

其中 z^_ 表示複共軛。用尤拉角 theta, phi, 和 psi 表示，Cayley-Klein 引數由下式給出

alpha=e^(i(psi+phi)/2)cos(1/2theta)
(8)
beta=ie^(i(psi-phi)/2)sin(1/2theta)
(9)
gamma=ie^(-i(psi-phi)/2)sin(1/2theta)
(10)
delta=e^(-i(psi+phi)/2)cos(1/2theta)
(11)

(Goldstein 1980, p. 155)。

變換矩陣用 Cayley-Klein 引數表示為

A=[1/2(alpha^2-gamma^2+delta^2-beta^2) 1/2i(gamma^2-alpha^2+delta^2-beta^2) gammadelta-alphabeta; 1/2i(alpha^2+gamma^2-beta^2-delta^2) 1/2(alpha^2+gamma^2+beta^2+delta^2) -i(alphabeta+gammadelta); betadelta-alphagamma i(alphagamma+betadelta) alphadelta+betagamma]
(12)

(Goldstein 1980, p. 153)。

Cayley-Klein 引數可以被視為一個矩陣（用 Q 表示，因其與四元數的密切關係）的引數

Q=[alpha beta; gamma delta]
(13)

該矩陣表徵了以下變換

u^'=alphau+betav
(14)
v^'=gammau+deltav.
(15)

具有復軸的線性空間。該矩陣滿足

Q^(H)Q=QQ^(H)=I,
(16)

其中 I 是單位矩陣，A^(H) 是共軛轉置，以及

|Q|^(H)|Q|=1.
(17)

用尤拉引數 e_i 和 Pauli 矩陣 sigma_i 表示，Q 矩陣可以寫成

Q=e_0I+i(e_1sigma_1+e_2sigma_2+e_3sigma_3)
(18)

(Goldstein 1980, p. 156)。

另請參閱

尤拉角, 尤拉引數, Pauli 矩陣, 四元數, 旋轉

使用 探索

參考文獻

Goldstein, H. "The Cayley-Klein Parameters and Related Quantities." §4-5 in Classical Mechanics, 2nd ed. Reading, MA: Addison-Wesley, pp. 148-158, 1980.Varshalovich, D. A.; Moskalev, A. N.; and Khersonskii, V. K. "Description of Rotations in Terms of Unitary 2×2 Matrices. Cayley-Klein Parameters." §1.4.3 in Quantum Theory of Angular Momentum. Singapore: World Scientific, pp. 24-27, 1988.

在 中引用

Cayley-Klein 引數

引用為

Weisstein, Eric W. "Cayley-Klein Parameters." 來自 網路資源。 https://mathworld.tw/Cayley-KleinParameters.html

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