無窮小旋轉

一個向量 的無窮小變換由下式給出

(1)

其中矩陣 是無窮小的， 是單位矩陣。（請注意，無窮小變換可能不對應於反演，因為反演是一個不連續的過程。）無窮小變換 和 的交換性由以下等價性確立：

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現在設

(6)

則逆矩陣 為 ，因為

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			(9)

由於我們將無窮小變換定義為旋轉，旋轉矩陣的正交性要求：

(10)

但是

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所以 ，無窮小旋轉是反對稱的。因此，它必須具有矩陣的形式：

(14)

然後，應用旋轉矩陣後，向量 的微分變化為：

(15)

以矩陣形式寫入，

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			(17)
			(18)
			(19)

因此，

(20)

其中

(21)

在靜止座標系中觀察到的總旋轉將是旋轉速度和旋轉座標系中的速度之和。然而，請注意，靜止座標系中的觀察者將看到與旋轉體座標系中的觀察者方向相反的速度，因此

(22)

這可以寫成一個算符方程，稱為旋轉算符，定義為

(23)