除代數

除代數，也稱為“除環”或“斜域”，是一個 環，其中每個 非零元素都有乘法逆元，但乘法不一定是 交換的。 因此，每個 域也是一個除代數。 在法語中，術語“corps non commutatif”用於表示除代數，而單獨的“corps”表示 域。

明確地，除代數是一個集合，連同兩個 二元運算子 滿足以下條件

1. 加法結合律：對於所有 ， 。

2. 加法交換律：對於所有 ， 。

3. 加法單位元：存在一個元素 ，使得對於所有 ， 。

4. 加法逆元：對於每個 ，存在一個元素 ，使得 。

5. 乘法結合律：對於所有 ， 。

6. 乘法單位元：存在一個元素 不等於 0，使得對於所有 ， 。

7. 乘法逆元：對於每個 不等於 0，存在 ，使得 。

8. 左分配律和右分配律：對於所有 ， 和 。

因此，除代數 是一個 單位環，對於該環， 是一個 群。 除代數必須至少包含兩個元素。 交換除代數稱為 域。

在 1878 年和 1880 年，弗羅貝尼烏斯和皮爾斯證明了唯一的結合實除代數是 實數、複數和 四元數 (Mishchenko 和 Solovyov 2000)。 凱萊代數是唯一的 非結合除代數。 赫爾維茨 (1898) 證明了 代數的 實數、複數、四元數和 凱萊數是單位“向量”乘法保持距離的唯一代數。

亞當斯 (1958, 1960) 證明了 n 維向量形成一個 代數，其中除法（除了除以 0 之外）總是隻在 、2、4 和 8 時才有可能。 博特和米爾諾 (1958) 證明了唯一的有限維實除代數出現在維度 、2、4 和 8 時。 每種情況都產生一個具有特別有用的物理應用的 代數（然而，它本身不一定是結合的），這四種情況分別對應於 實數、複數、四元數和 凱萊數。