超球面

維超球面（通常簡稱為 維球體）是將圓（幾何學家稱之為 2 維球面）和通常的球面（幾何學家稱之為 3 維球面）推廣到維度 的情況。 維球面因此被定義為（再次強調，對於幾何學家而言；見下文）點的 元組 (, , ..., ) 的集合，使得

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其中 是超球面的半徑。

不幸的是，幾何學家和拓撲學家對於“ 維球面”的含義採用了不相容的約定，幾何學家指的是底層空間中座標的數量（“因此二維球面是一個圓”，Coxeter 1973, p. 125），而拓撲學家指的是表面本身的維度（“ 維球面 被定義為 在 中滿足 的所有點的集合”，Hocking 和 Young 1988, p. 17；“ 維球面 是 ”，Maunder 1997, p. 21）。因此，幾何學家會將由下式描述的物件視為

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2 維球面，而拓撲學家會將其視為 1 維球面並將其表示為 。類似地，幾何學家會將由下式描述的物件視為

(3)

3 維球面，而拓撲學家會將其稱為 2 維球面並將其表示為 。因此，在查閱文獻時務必格外小心。根據文獻，本文件中使用了兩種約定，具體取決於上下文，並在可能存在歧義的地方明確指出。

令 表示 維超球面（在幾何學家的意義上）的容積（即， 維體積），半徑為 ，由下式給出

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其中 是單位半徑的 維球面的超表面積。單位超球面必須滿足

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但是，伽瑪函式可以定義為

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所以

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對於整數 ， 的特殊形式允許將上述表示式寫為

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其中 是階乘，而 是雙階乘 (OEIS A072478 和 A072479)。

奇怪的是，對於單位超球面，超表面積達到最大值，然後隨著 的增加而減小到 0。 最大超表面積的點滿足

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其中 是雙伽瑪函式。這無法透過解析方式求解 ，但數值解是 (OEIS A074457; Wells 1986, p. 67)。因此，七維單位超球面具有最大超表面積 (Le Lionnais 1983; Wells 1986, p. 60)。

在四維中，球座標的推廣由下式給出

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因此，3 維球面 的方程為

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並且線元素是

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透過定義 ，線元素可以重寫為

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因此，超表面積由下式給出

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