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超立方體

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Hypercube

超立方體是將 3-立方體推廣到 n 維的幾何體，也稱為 n-立方體或測度多胞形。它是一個具有相互垂直邊的正多胞形，因此也是一個長方體。它用 gamma_n 表示，Schläfli 符號為 {4,3,3_()_(n-2)}。

下表總結了 n-維超立方體的名稱。

n物件
1線段
2正方形
3立方體
4四維超立方體

包含在 n-立方體中的 k-立方體的數量可以從 係數 (2k+1)^n 中找到，即 (n; k)2^(n-k)，其中 (n; k) 是一個二項式係數。因此，n-超立方體中的節點數為 2^n (OEIS A000079)，邊的數量為 2^(n-1)n (OEIS A001787)，正方形的數量為 2^(n-3)n(n-1) (OEIS A001788)，立方體的數量為 2^(n-4)n(n-1)(n-2)/3 (OEIS A001789)，等等。

對於 n=1, 2, ...，n-超立方體的不同網格的數量分別為 1, 11, 261, ... (OEIS A091159; Turney 1984-85)。

TesseractProjection

上圖顯示了四維超立方體在三維空間中的投影。一個四維超立方體有 16 個多胞形頂點，32 條多胞形邊，24 個正方形和 8 個立方體。

四維超立方體的對偶被稱為 16-胞體。對於所有維度，超立方體的對偶是交叉多胞形（反之亦然）。

五維超立方體的等距投影與大菱形三十面體一起出現在 Coxeter 關於多胞形的著名書籍的封面上 (Coxeter 1973)。

Wilker (1996) 考慮了 n-立方體中使其到其頂點距離的乘積最大化的點 (Trott 2004, p. 104)。下表總結了對於小 n 的結果。

nproductd_i^2最大點
2(25)/(256)(0,1/2)
3(50625)/(65536)(0,0,1/2)
4(1403336390625)/(4294967296)(0,0,0,1/2)

另請參閱

交叉多胞形, 立方體, 立方體連線環圖, 球形超體, 哈密頓圖, 超立方體圖, 超立方體線段選取, 超球面, 長方體, 平行六面體, 多胞形, 單純形, 四維超立方體 在 課堂中探索此主題

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參考文獻

Born, M. Problems of Atomic Dynamics. Cambridge, MA: MIT Press, 1926.Coxeter, H. S. M. Regular Polytopes, 3rd ed. New York: Dover, p. 123, 1973.Dewdney, A. K. "Computer Recreations: A Program for Rotating Hypercubes Induces Four-Dimensional Dementia." Sci. Amer. 254, 14-23, Mar. 1986.Fischer, G. (Ed.). Plates 3-4 in Mathematische Modelle aus den Sammlungen von Universitäten und Museen, Bildband. Braunschweig, Germany: Vieweg, pp. 4-5, 1986.Gardner, M. "Hypercubes." Ch. 4 in Mathematical Carnival: A New Round-Up of Tantalizers and Puzzles from Scientific American. New York: Vintage Books, pp. 41-54, 1977.Geometry Center. "The Tesseract (or Hypercube)." http://www.geom.umn.edu/docs/outreach/4-cube/.Pappas, T. "How Many Dimensions Are There?" The Joy of Mathematics. San Carlos, CA: Wide World Publ./Tetra, pp. 204-205, 1989.Skiena, S. "Hypercubes." §4.2.5 in Implementing Discrete Mathematics: Combinatorics and Graph Theory with Mathematica. Reading, MA: Addison-Wesley, pp. 148-150, 1990.Sloane, N. J. A. Sequences A000079/M1129, A001787/M3444, A001788/M4161, A001789/M4522, and A091159 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."Trott, M. The Mathematica GuideBook for Programming. New York: Springer-Verlag, 2004. http://www.mathematicaguidebooks.org/.Trott, M. "The Mathematica Guidebooks Additional Material: Hypercube Projections." http://www.mathematicaguidebooks.org/additions.shtml#N_1_04.Turney, P. D. "Unfolding the Tesseract." J. Recr. Math. 17, No. 1, 1-16, 1984-85.Wells, D. The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry. London: Penguin, pp. 113-114 and 210, 1991.Wilker, J. B. "An Extremum Problem for Hypercubes." J. Geom. 55, 174-181, 1996.Williams, R. The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. New York: Dover, 1979.

在 中被引用

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請引用為

Weisstein, Eric W. "Hypercube." 摘自 Web 資源。 https://mathworld.tw/Hypercube.html

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