超立方體圖

維超立方體圖，也稱為 維立方體圖，通常表示為 或 ，其頂點是 個符號 , ..., ，其中 或 1，並且當且僅當符號恰好在一個座標中不同時，兩個頂點相鄰 iff。

維超立方體的圖由 圖笛卡爾積 路徑圖 給出。超立方體圖 同構於 哈斯圖，用於 布林代數 在 個元素上。 也同構於 單純形圖 的 完全圖 （Alikhani 和 Ghanbari 2024）。

上面的圖顯示了一些小的 維超立方體圖的垂直投影，使用了每個頂點集合的前兩個 座標。請注意，上面的 是沿著 空間對角線 檢視的常用 立方體 的投影，使得頂部和底部頂點重合，因此只顯示了立方體的八個頂點中的七個。此外，中心邊的三個連線到上頂點，而另外三個連線到下頂點。

超立方體圖可以使用 Wolfram 語言 中的命令計算HypercubeGraph[n]，超立方體圖的預計算屬性在 Wolfram 語言 中實現為GraphData["Hypercube"，n]。

下表總結了特殊情況。

0	單例圖
1	路徑圖
2	正方形圖
3	立方圖
4	超立方體圖

所有超立方體圖都是 哈密頓圖，標記的超立方體圖的任何 哈密頓環 都定義了一個二進位制反射 格雷碼 (Skiena 1990, p. 149; Mütze 2024)。超立方體圖也是 優美圖 (Maheo 1980, Kotzig 1981, Gallian 2018)、對蹠圖 和（很可能）支配唯一圖。

對於 、2、...， 維超立方體圖上（有向）哈密頓路徑的數量為 0, 0, 48, 48384, 129480729600, ... (OEIS A006070; 擴充套件了 Gardner 1986, pp. 23-24 的結果)，而（有向）哈密頓環的數量為 0, 2, 12, 2688, 1813091520, ... (Harary et al. 1988; OEIS A091299)。

長度為 的 環 的數量 在 中的閉合公式由 對於 奇數給出，並且

			(1)
			(2)
			(3)
			(4)

(E. Weisstein，2014 年 11 月 16 日和 2023 年 4 月 19 日)。

超立方體圖是 距離傳遞 的，因此也是 距離正則 的。

1954 年，Ringel 表明，當 是 2 的冪時，超立方體圖 允許 哈密頓分解 (Alspach 2010)。Alspach et al. (1990) 表明，每個 對於 都允許 哈密頓分解。

對於 ，超立方體圖也是 單位距離 的 (Gerbracht 2008)，如上面前幾個超立方體圖所示。這可以透過歸納法為 正方形圖 的單位距離嵌入開始，將嵌入在一個之前步驟中未選擇的方向上平移一個單位（只使用了有限個單位平移向量，因此必須有一個之前未使用的方向），將平移中的頂點與原始頂點中的對應頂點連線起來，並重復直到 維超立方體圖構造完成，從而為 維超立方體圖建立。

確定 支配數 本質上是困難的 (Azarija et al. 2017)，截至 2018 年 4 月，僅已知高達 的值 (Östergård 和 Blass 2001, Bertolo et al. 2004)。Azarija et al. (2017) 表明，超立方體圖的支配數和 全支配數 透過 相關聯。

對於 ， 是平面的，因此對於 ，具有 圖交叉數 。Eggleton 和 Guy (1970) 聲稱發現了 對於 的 圖交叉數 的上限，其中

			(5)
			(6)

對於 、4、...，前幾個值為 0、8、56、352、1760、8192、35712、... (OEIS A307813)。

後來發現了一個錯誤，但 Erdős 和 Guy (1973) 隨後推測，不僅原始界限是正確的（儘管尚未證明），而且 (Clancy et al. 2019)。雖然已知 ，但對於更大的 的精確值尚不清楚 (Clancy et al. 2019)。但是，可以使用 QuickCross (Haythorpe) 直接計算上限，這對應於 Eggleton 和 Guy 對於 的值 (E. Weisstein，2019 年 4 月 30 日)。此外，Erdős 和 Guy (1973) 的猜想現在已被駁斥，因為已知 (Clancy et al. 2019)。