布林代數

布林代數是一種數學結構，它類似於布林環，但它是使用交和並運算子而不是通常的加法和乘法運算子來定義的。明確地說，布林代數是由包含定義的子集上的偏序（Skiena 1990，p. 207），即，集合的布林代數是集合的子集，可以透過有限次集合運算並集（或）、交集（與）和補集（非）獲得（Comtet 1974，p. 185）。布林代數也構成一個格（Skiena 1990，p. 170），並且的每個元素都被稱為布林函式。在階為的布林代數中，有個布林函式（Comtet 1974，p. 186）。

1938年，夏農證明了一個二值布林代數（其成員最常表示為0和1，或假和真）可以描述二值電氣開關電路的執行。在現代，布林代數和布林函式因此在計算機晶片和積體電路的設計中是不可或缺的。

布林代數具有遞迴結構，在上面為階為、3、4和5的布林代數繪製的哈斯圖中顯而易見。這些圖說明了格的左右兩半之間的劃分，每一半都是在個元素上的布林代數（Skiena 1990，pp. 169-170）。階為的布林代數的哈斯圖被實現為BooleanAlgebra[n] 在 Wolfram 語言 包中Combinatorica`。它與-超立方體圖同構。

布林代數可以正式定義為一個集合，其中元素為，，... 具有以下屬性

1. 有兩個二元運算，（邏輯與，或“合取”）和（邏輯或，或“析取”），它們滿足冪等律

交換律

和結合律

2. 這些運算滿足吸收律

3. 這些運算是相互分配的

4. 包含普遍邊界（空集）和（全集），它們滿足

5. 有一個一元運算，即取補運算，它服從以下定律

（Birkhoff 和 Mac Lane 1996）。

在（Bell 1986，p. 444）略顯陳舊的術語中，布林代數可以定義為一個集合，其中元素為，，... 帶有二元運算子（或；邏輯或）和（或；邏輯與），使得

1a. 如果和在集合中，那麼在集合中。

1b. 如果和在集合中，那麼在集合中。

2a. 存在一個元素（零），使得對於每個元素，。

2b. 存在一個元素（單位），使得對於每個元素，。

3a. 。

3b. 。

4a. 。

4b. 。

5. 對於每個元素，存在一個元素，使得和。

6. 集合中至少有兩個不同的元素。

亨廷頓（Huntington，1933ab）提出了以下布林代數的基礎

1. 交換律：。

2. 結合律：。

3. 亨廷頓公理：。

然後，H. 羅賓斯推測亨廷頓公理可以用更簡單的羅賓斯公理代替，

由交換律、結合律和羅賓斯公理定義的代數稱為羅賓斯代數。計算機定理證明表明，每個羅賓斯代數都滿足第二個溫克勒條件，由此立即得出所有羅賓斯代數都是布林代數（McCune，Kolata 1996）。