完全圖

完全圖是一個圖，其中每對圖頂點都由一條邊連線。具有 個圖頂點的完全圖表示為 ，並具有 （三角形數）條無向邊，其中 是一個二項式係數。在較早的文獻中，完全圖有時被稱為通用圖。

完全圖 也是完全 n-部圖 。

在 個節點上的完全圖在 Wolfram 語言中實現為CompleteGraph[n]。預計算的屬性可以使用GraphData["Complete", n]。可以使用 Wolfram 語言中的函式來測試圖是否完整CompleteGraphQ[g]。

0 個節點的完全圖是一個被稱為零圖的平凡圖，而 1 個節點的完全圖是一個被稱為單點圖的平凡圖。

在 1890 年代，Walecki 證明了對於奇數 ，完全圖 允許哈密頓分解，對於偶數 ，允許分解為哈密頓環加上完美匹配（Lucas 1892，Bryant 2007，Alspach 2008）。Alspach et al. (1990) 給出了所有 的哈密頓分解的構造。

完全圖 的圖補是 個頂點上的空圖。 的單純形圖是超立方體圖 （Alikhani 和 Ghanbari 2024）。

的圖虧格為 ，對於 (Ringel 和 Youngs 1968；Harary 1994，p. 118)，其中 是天花板函式。

完全圖 的鄰接矩陣 採用特別簡單的形式，即全為 1，對角線上為 0，即單位矩陣減去單位矩陣，

(1)

完全圖是距離正則、幾何和支配唯一的。

是環圖 ，以及奇圖 （Skiena 1990，p. 162）。 是四面體圖，以及輪圖 ，也是一個平面圖。 是非平面的，有時被稱為五胞體圖或 Kuratowski 圖。Conway 和 Gordon (1983) 證明了 的每個嵌入都是本徵連結的，至少有一對連結的三角形，並且 也是一個凱萊圖。Conway 和 Gordon (1983) 還表明， 的任何嵌入都包含一個打結的哈密頓環。

對於 、2、3 和 4，完全圖 是平面圖。對於 、6 和 7，它是非平面圖，其圖交叉數等於其直線交叉數。蓋伊猜想提出了 的圖交叉數的閉合形式，這首先與 的直線交叉數不同，其中 但 。上面說明了最小交叉嵌入，其中顯示了 的最小直線和無限制（允許曲線邊）最小嵌入（Harary 和 Hill 1962-1963）。

完全圖 是線圖，星圖 的線圖。

的色多項式 由降階乘 給出。 獨立多項式由下式給出

(2)

和匹配多項式由下式給出

			(3)
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其中 是埃爾米特多項式 的歸一化版本。

的色數和團數是 。完全圖 的自同構群是對稱群 （Holton 和 Sheehan 1993，p. 27）。

對於 、4、...，完全圖 中的圖環數為 1、7、37、197、1172、8018 ... (OEIS A002807)。這些數字由以下公式解析給出

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其中 是二項式係數， 是廣義超幾何函式 (Char 1968, Holroyd 和 Wingate 1985)。

完全圖是測地線的。

一般而言，是否可以將一組具有 1、2、...、 條圖邊的樹總是打包到 中尚不清楚。但是，如果將樹的選擇限制為每個族中的路徑或星形，則始終可以完成打包（Zaks 和 Liu 1977，Honsberger 1985）。

完全圖 的二分雙圖是皇冠圖 。