圖的虧格

圖 的虧格 是必須新增到平面上的最小手柄數，以便在沒有任何交叉的情況下嵌入該圖。虧格為 0 的圖可以嵌入到平面中，並且被稱為平面圖。下表總結了具有特定虧格值的圖類的名稱（參見 West 2000, p. 266）。

	類
0	平面圖
1	環面圖
2	雙環面圖
3	椒鹽捲餅圖

每個圖都有一個虧格 (White 2001, p. 53)。

最小的雙環面圖有 8 個頂點，並且恰好有 15 個 8 節點的雙環面圖。

沒有頂點數少於或等於 8 的椒鹽捲餅圖。

令 為虧格為 的曲面。那麼，如果 對於 ，則 在 中有一個嵌入，但不在 中，對於 。此外， 嵌入在 中，對於所有 ，這可以透過向 在 中的嵌入新增 個手柄來看到（White 2001, p. 52）。

圖 的虧格滿足

(1)

其中 是 的邊數（White 2001, p. 53）。

不連通圖的虧格是其連通分量的虧格之和 (Battle et al. 1962, White 2001, p. 55)，而連通圖的虧格是其塊的虧格之和 (Battle et al. 1962; White 2001, p. 55; Stahl 1978)。

根據 Battle et al. (1962) 的結果， 個 的不相交併集（或 個 的不相交併集）是虧格為 的圖的停用次子式。類似地， 個 或 ，使得某些共享一個頂點並且其塊是 或 ，是虧格為 的圖的停用次子式。

Duke 和 Haggard (1972; Harary et al. 1973) 給出了所有頂點數少於或等於 8 的圖的虧格的判據。定義雙環面圖

			(2)
			(3)
			(4)

其中 表示 減去 的邊。那麼對於 的任何子圖

1. 如果 不包含庫拉托夫斯基圖（即， 或 ），則

2. 如果 包含庫拉托夫斯基圖（即，是非平面圖），但不包含任何 ，對於 ，則

3. 如果 包含任何 ，對於 ，則

完全圖 的虧格為

(5)

對於 ，其中 是向上取整函式（Ringel 和 Youngs 1968；Harary 1994, p. 118）。對於 , 2, ... 的值分別為 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, ... (OEIS A000933)。

完全二分圖 的虧格為

(6)

（Ringel 1965；Beineke 和 Harary 1965；Harary 1994, p. 119）。

超立方體 的虧格為

(7)

（Ringel 1955；Beineke 和 Harary 1965；Harary et al. 1988；Harary 1994, p. 119）。對於 , 2, ... 的值分別為 0, 0, 0, 1, 5, 17, 49, 129, ... (OEIS A000337)。