連通圖是在圖的拓撲空間意義上連通的，即圖中任意兩點之間都存在路徑。不連通的圖稱為非連通圖。根據此定義，空圖和單例圖被認為是連通的，而節點數 
的空圖是非連通的。
根據 West (2001, p. 150) 的說法，單例圖 
“令人惱火地不一致”，因為它雖然是連通的（特別是 1-連通的），但為了討論連通性的一致性，它被認為具有頂點連通度 
。
如果 
是簡單圖 
的鄰接矩陣，則 
的項 
是從頂點 
到頂點 
的 
-步行的數量。因此，具有 
個節點的圖是連通的當且僅當
 |
沒有矩陣元素等於零。
具有 
個節點的連通圖滿足
 |
其中 
是頂點 
的頂點度（並且除了單例圖 
的情況外，該不等式可以嚴格成立）。然而，雖然此條件是圖連通的必要條件，但不是充分條件；滿足上述不等式的任意圖可能是連通的或非連通的。
對於 
, 2, ...，
-節點連通未標記圖的數量為 1, 1, 2, 6, 21, 112, 853, 11117, 261080, ... (OEIS A001349)。(不一定連通的) 未標記 
-節點圖的總數由前述序列的尤拉變換給出，1, 2, 4, 11, 34, 156, 1044, 12346, ... (OEIS A000088; Sloane 和 Plouffe 1995, p. 20)。此外，一般來說，如果 
是滿足某些性質的 
個節點上的未標記連通圖的數量，則尤拉變換 
是具有相同性質的未標記圖（連通或非連通）的總數。尤拉變換的這種應用稱為 Riddell 公式。
-節點上連通標記圖的數量為 1, 1, 4, 38, 728, 26704, ... (OEIS A001187)，並且 (不一定連通的) 標記 
-節點圖的總數由前述序列的指數變換給出：1, 2, 8, 64, 1024, 32768, ... (OEIS A006125; Sloane 和 Plouffe 1995, p. 19)。
可以使用程式高效地列舉 
個節點上的連通圖geng（屬於nauty）由 B. McKay 使用語法geng -c n。然而，由於程式返回圖的順序geng隨著時間的推移和改進的進行而變化，因此此處和GraphData.
可以使用 Wolfram 語言測試圖是否為連通圖，使用ConnectedGraphQ[g]。
如果 
是非連通的，則其補圖 
是連通的 (Skiena 1990, p. 171; Bollobás 1998)。然而，逆命題不成立，例如可以使用圈圖 
來說明，它本身是連通的並且與其補圖同構。
也可以討論 k-連通圖（即頂點連通度為 
的圖），其中每個頂點的度至少為 
（即度序列的最小值是 
）。因此，1-連通圖是最小度為 
的連通圖。
