多面體圖

一個 -多面體圖（有時稱為 -網）是一個在 個節點上的 3-連通 簡單 平面圖。每個 凸多面體 都可以透過一個 3-連通 平面圖 在平面上或球面上表示。相反，根據 Steinitz 定理（由 Grünbaum (2003, p. 235) 重述），每個 3-連通 平面圖 都可以實現為 凸多面體 (Duijvestijn and Federico 1981)。多面體圖有時簡稱為“多面體”（但這相當令人困惑，因為術語“多面體”更常指具有 個面，而不是 個頂點）。

具有 , 2, ... 個頂點的不同多面體圖的數量為 0, 0, 0, 1, 2, 7, 34, 257, 2606, ... (OEIS A000944; Grünbaum 2003, p. 424; Duijvestijn 和 Federico 1981; Croft et al. 1991; Dillencourt 1992)。透過 對偶性，每個 個節點上的多面體圖對應於一個具有 個面的圖（和多面體）。因此， 個節點上的多面體圖與具有 個面的凸多面體同構。因此，存在一個 四面體圖，兩個 五面體圖，等等，這也意味著存在一個 四面體，兩個 五面體，等等。

目前還沒有已知的公式來列舉按邊數 、頂點數 或面數 劃分的非同構多面體圖的數量 (Harary and Palmer 1973, p. 224; Duijvestijn and Federico 1981)。下表總結了前幾個的數量。

	#	圖名稱
4	1	四面體圖
5	2	五面體圖
6	7	六面體圖
7	34	七面體圖
8	257	八面體圖
9	2606	九面體圖
10	32300	十面體圖

Duijvestijn 和 Federico (1981) 枚舉了 條邊的多面體圖，對於 , 7, 8, ...，得到 1, 0, 1, 2, 2, 4, 12, 22, 58, 158, 448, ... (OEIS A002840)。

最小的 非哈密頓多面體圖 是 Herschel 圖，它有 11 個節點。n=11, 12, ... 個節點上的非哈密頓多面體圖的數量為 1, 2, 30, 239, 2369, 22039, 205663, ... (OEIS A007030; Dillencourt 1991)。類似地，具有 , 10, ... 個面的非哈密頓多面體圖的數量為 1, 8, 135, 2557, ... (OEIS A007032; Dillencourt 1991)。

在 13 個或更少節點上，沒有 不可追蹤圖 多面體圖。

正如 Whitney (1932) 所證明的，多面體圖是 唯一可嵌入的 (Fleischner 1973)。