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二十面體圖

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IcosahedralGraphEmbeddings

二十面體圖是柏拉圖圖，其節點具有正二十面體的連通性，以及大十二面體、大二十面體、耶森正交二十面體和小星形十二面體。二十面體圖有 12 個頂點和 30 條邊，並在上面以多種嵌入方式進行了說明。

IcosahedralGraphLCF

由於二十面體圖是正則圖和哈密頓圖，因此它具有廣義 LCF 記號。 事實上，存在兩種不同的 6 階廣義 LCF 記號--[(-4,-3,4),(-2,2,3)]^6 和 [(-4,3,4),(-3,-2,2)]^6--2 階的有 8 個，1 階的有 17 個，如上所示。

它在 Wolfram 語言中以如下方式實現GraphData["IcosahedralGraph"].

它是具有相交陣列 {5,2,1;1,2,5} 的距離正則圖，因此也是一個 泰勒圖。它也是距離傳遞的。

IcosahedralGraphGracefulLabeling

二十面體圖是優美的 (Gardner 1983, pp. 158 and 163-164; Gallian 2018, p. 35; Knuth 2024)，如上面的標籤所示，相鄰標記頂點的絕對差值恰好由包括 0-30 的數字組成。存在 24 種基本不同的優美標記（即，在減法補全和圖的對稱性下不同的優美標記），總共有 5760 種優美標記 (Bert Dobbelaere, 私人通訊, 2020 年 10 月 2 日)。Ashkok Kumar Chandra 的計算發現 5 種基本不同的解，正如 Gardner (1983, pp. 163-164) 報道的那樣，因此似乎是錯誤的。

IcosahedralGraphMinimalIntegralDrawings

二十面體圖存在兩種最小的積分嵌入，如上所示，所有嵌入的最大邊長均為 8 (Harborth and Möller 1994)。

IcosahedralGraphMinimalPlanarIntegralDrawing

二十面體圖的最小平面積分嵌入的最大邊長為 159 (Harborth et al. 1987)。

大十二面體、大二十面體和小星形十二面體的骨架都與二十面體圖同構。

從二十面體圖中移除任何一條邊都會得到蒂利圖。

二十面體圖的色多項式是

pi_G(z)=z(z-1)(z-2)(z-3)(z^8-24z^7+260z^6-1670z^5+6999z^4-19698z^3+36408z^2-40240z+20170),

色數是 4。

它的圖譜是 (-sqrt(5))^3(-1)^5(sqrt(5))^35^1 (Buekenhout and Parker 1998; Cvetkovic et al. 1998, p. 310)。它的自同構群的階數為 |Aut(G)|=120 (Buekenhout and Parker 1998)。

IcosahedralGraphMatrices

上面的圖顯示了二十面體圖的鄰接、關聯和圖距離矩陣。

附加 J_(12)-I_(12) 的二十面體圖的鄰接矩陣（其中 J_(12) 是單位矩陣，而 I_(12) 是恆等矩陣）是格雷碼的生成矩陣。

下表總結了二十面體圖的性質。

性質值
自同構群階數120
特徵多項式(x-5)(x+1)^5(x^2-5)^3
色數4
無爪是
團數3
由譜確定?
直徑3
距離正則圖是
對偶圖名稱十二面體圖
邊色數5
邊連通度5
邊數30
尤拉圖否
圍長3
哈密頓圖是
哈密頓環數2560
哈密頓路徑數?
積分圖否
獨立數3
線圖否
完美匹配圖否
平面圖是
多面體圖是
多面體嵌入名稱大十二面體, 大二十面體, 二十面體, 耶森正交二十面體, 小星形十二面體
半徑3
正則是
譜(-sqrt(5))^3(-1)^5(sqrt(5))^35^1
無平方否
可跡是
無三角形否
頂點連通度5
頂點數12
弱正則引數(12,(5),(2),(0,2))

另請參閱

立方圖, 十二面體圖, 八面體圖, 柏拉圖圖, 四面體圖, 蒂利圖

使用 探索

參考文獻

Bondy, J. A. and Murty, U. S. R. 圖論及其應用. New York: North Holland, p. 234, 1976.Buekenhout, F. and Parker, M. "The Number of Nets of the Regular Convex Polytopes in Dimension <=4." Disc. Math. 186, 69-94, 1998.Cvetković, D. M.; Doob, M.; and Sachs, H. 圖的譜：理論與應用，第三版修訂增補版. New York: Wiley, 1998.DistanceRegular.org. "Icosahedron." http://www.distanceregular.org/graphs/icosahedron.html.Gallian, J. "Dynamic Survey of Graph Labeling." Elec. J. Combin. DS6. Dec. 21, 2018. https://www.combinatorics.org/ojs/index.php/eljc/article/view/DS6.Gardner, M. "Golomb's Graceful Graphs." Ch. 15 in 輪子、生命和其他數學娛樂. New York: W. H. Freeman, pp. 152-165, 1983.Godsil, C. and Royle, G. 代數圖論. New York: Springer-Verlag, p. 127, 2001.Harborth, H. and Möller, M. "Minimum Integral Drawings of the Platonic Graphs." Math. Mag. 67, 355-358, 1994.Harborth, H.; Kemnitz, A.; Möller, M.; and Süssenbach, A. "Ganzzahlige planare Darstellungen der platonischen Körper." Elem. Math. 42, 118-122, 1987.Knuth, D. E. Problem 101 in §7.2.2.3 in The Art of Computer Programming, Vol. 4. Pre-Fascicle 7A, Dec. 5, pp. 122 and 181-192, 2024.Read, R. C. and Wilson, R. J. 圖譜. Oxford, England: Oxford University Press, p. 266, 1998.

請引用本文為

Weisstein, Eric W. "Icosahedral Graph." 來自 Web 資源. https://mathworld.tw/IcosahedralGraph.html

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