小星形十二面體

小星形十二面體是 開普勒-泊松多面體，其 對偶多面體 是 大十二面體。它也是 均勻多面體，Maeder 索引為 34 (Maeder 1997)，Wenninger 索引為 20 (Wenninger 1989)，Coxeter 索引為 43 (Coxeter et al. 1954)，Har'El 索引為 39 (Har'El 1993)。小星形十二面體具有 施萊夫利符號 和 威佐夫符號 。它由 12 個 五角星形 面 () 組成。

它是 十二面體 的第一個 星形化 (Wenninger 1989)。

小星形十二面體在 Wolfram 語言 中實現為UniformPolyhedron[20], UniformPolyhedron["SmallStellatedDodecahedron"], UniformPolyhedron["Coxeter", 43], UniformPolyhedron["Kaleido", 39], UniformPolyhedron["Uniform", 34], 或UniformPolyhedron["Wenninger", 20]。它也在 Wolfram 語言 中實現為PolyhedronData["SmallStellatedDodecahedron"].

小星形十二面體大約在 1430 年作為保羅·烏切洛在威尼斯聖馬可大教堂地板上的馬賽克出現 (Muraro 1955)。開普勒 (在他的著作中使用了術語“海膽”) 在他 1619 年的著作 Harmonice Mundi 中重新發現了它，泊松在 1809 年再次發現了它。

小星形十二面體的骨架與 二十面體圖 同構。

施萊夫利 (Schläfli) (1901, p. 134) 沒有將小星形十二面體視為正多面體，因為它違反了 多面體公式，而是滿足

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其中 是頂點數， 是邊數， 是面數 (Coxeter 1973, p. 172)。

埃舍爾 (Escher) 構建了他自己的小星形十二面體模型 (Bool et al. 1982, p. 146)，作為他的木刻作品“秩序與混沌” (Bool et al. 1982, p. 299) 和“秩序與混沌 II” (Bool et al. 1982, p. 310) 的研究。

12 個五角星形面可以透過找到 二十面體 的 12 組共面的五個頂點來構建，並將每組連線起來形成一個 五角星。

假設 12 個五角星形的邊長為單位長度，則小星形十二面體的 外接球半徑 為

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小星形十二面體可以透過 增廣 十二面體來構造，即構建十二個 五角錐體 並將它們附加到原始十二面體的面上。在單位 十二面體 上構建的小星形十二面體的錐體高度為 。為了達到與使用單位邊長五角星形構建的小星形十二面體相同的比例，在單位邊長十二面體上構建的 增廣 立體必須按 縮放。

累積單位 十二面體 以構建大星形十二面體會產生邊長為

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這種小星形十二面體的 表面積 和 體積 為

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上面的影像顯示了一個使用 30 個 36 度等腰三角形模組構建的 摺紙 小星形十二面體，每個模組由單張紙組成，並且需要膠水 (Gurkewitz and Arnstein 1995, pp. 54-55)。

小星形十二面體的 凸包 是 正二十面體，二十面體 的對偶是 十二面體，因此小星形十二面體的對偶是 十二面體星形化 之一 (Wenninger 1983, p. 40)