多面體公式

一個關聯多面體頂點 、面 和多面體稜 數量的公式，適用於單連通（即虧格為 0）多面體（或多邊形）。它由尤拉（1752 年）和笛卡爾獨立發現，因此也稱為笛卡爾-尤拉多面體公式。該公式也適用於某些，但並非全部，非凸多面體。

多面體公式指出

(1)

其中 是多面體頂點的數量， 是多面體稜的數量，而 是面的數量。有關證明，請參見 Courant 和 Robbins（1978 年，第 239-240 頁）。

這個公式被 Schläfli 推廣到 維多胞形（Coxeter 1973 年，第 233 頁），

	(2)
	(3)
	(4)
	(5)
	(6)

並由龐加萊證明（Poincaré 1893 年；Coxeter 1973 年，第 166-171 頁；Williams 1979 年，第 24-25 頁）。

對於虧格為 的曲面，該公式可以推廣到龐加萊公式

(7)

其中

(8)

是尤拉示性數，有時也稱為尤拉-龐加萊示性數。多面體公式對應於特殊情況 。

存在不滿足多面體公式的多胞形，其中最著名的是大十二面體 和小星形十二面體 ，施萊夫利本人就拒絕承認它們（Schläfli 1901 年，第 134 頁），因為對於這些實體，

(9)

（Coxeter 1973 年，第 172 頁）。