對偶多面體

根據對偶性原理，對於每個多面體，都存在另一個多面體，其中面和多面體頂點佔據互補的位置。這個多面體被稱為對偶或倒數。取對偶的過程也稱為倒數或極倒數。 Brückner (1900) 是最早給出對偶性精確定義的人之一（Wenninger 1983，第 1 頁）。

從任何給定的多面體開始，其對偶的對偶是原始多面體。

任何多面體都可以與第二個（抽象的、組合的、拓撲的）對偶圖形相關聯，其中一個的頂點對應於另一個的面，並且一個的頂點對之間的邊對應於另一個的面對之間的邊。即使一對多面體無法透過倒數獲得，只要一個的頂點對應於另一個的面，並且一個的邊對應於另一個的邊，以保持關聯的方式，它們也可以被稱為彼此的（抽象的、組合的或拓撲的）對偶。然而，並非所有這樣的對偶都是幾何多面體。

對偶運算在 Wolfram 語言 中實現為DualPolyhedron[poly].

可以透過連線圍繞每個多面體頂點的邊的中點（頂點圖形；左圖），並構造相應的切線多邊形（與頂點圖形的外接圓相切；右圖）來計算柏拉圖立體、阿基米德立體，或者實際上任何均勻多面體的對偶。這有時被稱為 Dorman-Luke 構造（Wenninger 1983，第 30 頁；Cundy 和 Rollett 1989，第 117 頁）。 Dorman Luke 的構造只能用於多面體具有中球面並且頂點圖形是迴圈的情況。

根據 Cundy 和 Rollett (1989, 第 79 頁)，在倒數中，極線是垂直的，並且對於半徑的合適選擇，可以使它們相交。這是放置倒數多面體最有趣的位置，其中一個的每條邊與另一個的對應邊成直角（並且通常也在中點）相交。事實上，許多有吸引力的多面體複合體正是以這種方式形成的。

也可以透過構造與中球面（有時也稱為倒數球面或內切球面）相切的多面體邊來繪製柏拉圖立體或阿基米德立體的對偶多面體，這些多面體邊與原始多面體邊垂直。此外，令 為對偶多面體的內半徑（對應於內切球，它與對偶立體的面相切）， 為多面體及其對偶的中半徑（對應於中球面，它與多面體及其對偶的邊相切），以及 外半徑（對應於外接球，它與立體的頂點相切）。由於外接球和內切球彼此對偶，、 和 服從極性關係

（Cundy 和 Rollett 1989，表 II 第 144 頁之後）。

上面說明了透過關於中球面進行倒數運算來形成對偶的過程，以柏拉圖立體為例。頂行顯示原始立體。中間行顯示原始立體的頂點圖形，作為疊加在形成相應對偶的切線多邊形上的線。最後，底行說明了由多面體及其對偶組成的多面體複合體。

對於具有 個頂點、 個面和 條邊的阿基米德立體，其對偶多面體具有 個頂點、 個面和 條邊。等角立體的對偶（即，所有頂點都相似）是等面立體的（即，所有面都相似）（Wenninger 1983，第 5 頁）。

任何非凸均勻多面體的對偶都是給定多面體的凸包的星形形式（Wenninger 1983，第 3-4 頁和第 40 頁）。

對於柏拉圖立體或阿基米德立體，立體及其對偶的體積之比與立體及其對偶的表面積之比相同，阿波羅尼奧斯首先注意到十二面體和二十面體的這一性質。

下表列出了柏拉圖立體和開普勒-泊松多面體的對偶，以及多面體-對偶複合體的名稱。（請注意，柏拉圖立體的對偶本身就是柏拉圖立體，因此取柏拉圖立體的對偶不會形成新的立體。）

對偶也可以用於其他多面體，包括阿基米德立體和均勻立體。下表給出了某些立體及其對偶的名稱。

當具有Schläfli 符號 的多胞體及其對偶處於倒數位置時， 的邊界多面體的頂點可以透過選擇 中最接近 每個頂點的那些頂點來找到。