正二十面體

正二十面體，通常簡稱為“二十面體”，是如上圖所示的正多面體和柏拉圖立體，它有 12 個多面體頂點，30 條多面體邊和 20 個等價的等邊三角形面，。上圖展示了它以及線框版本和一個可用於其構造的網格。

正二十面體也是 Maeder 索引為 22 (Maeder 1997)、Wenninger 索引為 4 (Wenninger 1989)、Coxeter 索引為 25 (Coxeter et al. 1954) 和 Har'El 索引為 27 (Har'El 1993) 的均勻多面體。它由施萊夫利符號 和威佐夫符號 描述。Coxeter et al. (1999) 已經表明有 58 個二十面體星狀體（當包括二十面體本身時，總共有 59 個立體）。

上面展示了正二十面體的許多對稱投影。

正二十面體在 Wolfram 語言中實現為Icosahedron[] 或UniformPolyhedron["Icosahedron"]，並且預計算屬性可用作PolyhedronData["Icosahedron"].

上面展示了用摺紙構造的兩個二十面體（Gurkewitz 和 Arnstein 1995, p. 53）。這種構造使用 30 個三角形邊緣模組，每個模組由一張摺紙製成。

在 M. C. Escher 1948 年的木刻版畫“星星”中，兩個二十面體以多面體“星星”的形式出現 (Forty 2003, Plate 43)。

二十面體有 43380 種不同的網格，與十二面體的數量相同（Bouzette 和 Vandamme，Hippenmeyer 1979，Buekenhout 和 Parker 1998）。

二十面體具有二十面體群 的對稱性。頂點的連通性由二十面體圖給出。

正二十面體是第一個和第二個十二面體星狀體、大十二面體、大二十面體、第 11 個二十面體星狀體和小星形十二面體的凸包。

邊長為單位長度的二十面體的對偶多面體是邊長為 的十二面體，其中 是黃金比例。因此，二十面體的面的中心形成一個十二面體，反之亦然，如上圖所示（Steinhaus 1999, pp. 199-201）。

特別地，十五個黃金矩形跨越二十面體的內部。這些矩形有 30 條邊，每條邊與其對邊配對形成一個黃金矩形

當每個三角形被塗成不同的顏色時，有 59 個不同的二十面體（Coxeter 1969）。更一般的多面體著色問題可以使用波利亞計數定理來解決。

一次取八個，二十面體的面的中心構成一個立方體的頂點。這導致了美麗的立方體 5-複合體，並且是耶森正交二十面體的基礎。

垂直於二十面體的 軸的平面將實體切割成規則的十邊形橫截面 (Holden 1991, pp. 24-25)。

菱形三十面體的面的長對角線給出了二十面體的邊（Steinhaus 1999, pp. 209-210）。

下表給出了可以透過給定高度 的稜錐增廣二十面體而構造的多面體。

邊長為 的二十面體的構造將端點頂點放置在 ) 處，並將中心頂點圍繞兩個交錯的圓，半徑為 ，高度為 。透過適當的旋轉，邊長為 2 的二十面體的多面體頂點也可以放置在 、 和 處，其中 是黃金比例。這些點將八面體的多面體邊分成長度比為 的線段。二十面體的另一種方向將兩個相對的三角形面放置在平行於 -平面的方向上。在這種方向中，從頂面到下方頂點 的三角形的距離 是 ，等於面的外接圓半徑。 的外接圓半徑 由下式給出

為了推導邊長為 的二十面體的體積，考慮方向，使得兩個多面體頂點在頂部和底部定向。頂部和底部五角雙稜錐之間的垂直距離然後由下式給出

其中

是等邊三角形的高度，並且矢高 是五邊形的

給出

將 (3) 和 (5) 代入 (2) 得到

這與邊長為 的五邊形的半徑相同。外接圓半徑為

其中

是五角雙稜錐的高度。因此，

取平方根得到外接圓半徑

內切圓半徑為

中半徑的平方為

所以

二面角為

正二十面體的Dehn 不變數為

(OEIS A377698)，其中第一個表示式使用了 Conway et al. (1999) 的基。

一個面的面積是等邊三角形的面積

體積可以透過取 20 個高度為 的稜錐來計算

阿波羅尼奧斯表明，對於具有相同內切圓半徑的二十面體和十二面體，

其中 是體積， 是表面積，實際比率為