LCF 記號

LCF 記號是由約書亞·萊德伯格（1958 年諾貝爾生理學或醫學獎得主）設計的一種簡潔方便的記號，用於表示三次 哈密頓圖（Lederberg 1965）。該記號隨後被 Frucht (1976) 和 Coxeter et al. (1981) 修改，因此被 Frucht (1976) 稱為“LCF 記號”。Pegg (2003) 使用該記號描述了許多三次對稱圖。該記號僅適用於哈密頓圖，因為它透過將哈密頓環放置在圓形嵌入中，然後用邊連線指定的節點對，從而實現其對稱性和簡潔性。

例如，記號 描述了上面所示的立方圖。要了解其工作原理，首先從環圖 開始。從頂點 開始，順時針數三個頂點 () 到 ，並將其與 用一條邊連線。現在前進到 ，逆時針數三個頂點 () 到頂點 ，並將 和 用一條邊連線。這是過程 的一次迭代，然後重複三次（總共四次，對應於 的指數），直到到達原始頂點，從而得到由 表示的圖。請注意，該圖實際上在此過程中被遍歷了兩次，因為每條邊都被構造了兩次，每個方向一次。

給定圖的 LCF 記號不是唯一的，因為它可以向左或向右移動任意位置，或者可以反轉（條目的符號也相應改變，以對應於外環的編號也必須以相反的順序完成的事實）。此外，對於具有多個哈密頓環的圖，對於哪個環對映到外環，可能有不同的選擇。

因此，根據哈密頓環的結構，單個圖可能具有幾個不同的 LCF 記號，這些記號具有與不同嵌入相對應的不同指數。此外，也可能存在具有相同指數的不等價記號。例如，上面所示的 18 個節點上的三次頂點傳遞圖具有四個 LCF 記號 、 、 、 和 [, , 5, 9, , 5, 9, , 5, 7, , 7, 9, , 5, 9, , 5]。

下表給出了節點數不超過 20 的命名三次哈密頓圖的最簡單（即最短）LCF 記號。這裡， 表示 個節點上的三次對稱圖。

頂點數	圖	“最小”LCF 記號
4	四面體圖
6	效用圖
6	3-稜柱圖
8	立方圖
8	3-火柴棍圖
8	4-莫比烏斯梯形圖
10	5-莫比烏斯梯形圖
10	5-稜柱圖
12	富蘭克林圖
12	Frucht 圖
12	廣義 Petersen 圖 (6,2)
12	6-莫比烏斯梯形圖
12	6-稜柱圖
12	截角四面體圖
14	廣義 Petersen 圖 (7, 2)
14	希伍德圖
14	7-莫比烏斯梯形圖
14	7-稜柱圖
16	三次頂點傳遞圖 Ct19
16	莫比烏斯-坎特圖
16	8-莫比烏斯梯形圖
16	8-稜柱圖
18	帕普斯圖
18	三次頂點傳遞圖 Ct20
18	三次頂點傳遞圖 Ct23
18	廣義 Petersen 圖 (9,2)
18	廣義 Petersen 圖 (9,3)
18	9-莫比烏斯梯形圖
18	9-稜柱圖
20	三次頂點傳遞圖 Ct25
20	三次頂點傳遞圖 Ct28
20	三次頂點傳遞圖 Ct29
20	德扎格圖
20	十二面體圖
20	廣義 Petersen 圖 (10, 4)
20	直徑為 3 的最大三次非平面圖
20	10-莫比烏斯梯形圖
20	10-稜柱圖