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三次對稱圖

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三次對稱圖是一種對稱三次圖（即，度為 3 的正則圖）。這類圖最早由福斯特（Foster，1932）研究。此後，它們一直是人們關注和研究的物件。由於三次圖必須具有偶數個頂點，因此三次對稱圖也必須如此。

鮑爾等人(1988) 發表了所有頂點數不超過 512 的連通三次對稱圖的資料。康德爾和多布薩尼（Conder and Dobcsányi，2002）找到了所有頂點數不超過 768 的三次對稱圖。羅伊爾維護了一個已知頂點數少於 1000 的三次對稱圖列表。（已知該列表對於最多 768 個頂點是完整的，但對於 770-998 個頂點僅包含凱萊圖。）所有頂點數最多為 2048 的三次對稱圖隨後由 M. Condor 在 2006 年 8 月列舉（Condor）。

CubicSymmetricDisconnectedGraphs

節點數為n=2, 4, 6, 8, ... 的不連通三次對稱圖的數量分別是 0, 0, 0, 1, ...，其中最小的一些如上所示。

CubicSymmetricGraphs

節點數不超過 102 的連通三次對稱圖如上圖所示，表示為F_nZ，其中 F 代表福斯特（Foster），n 是頂點的數量，字母 A, B, C 等附加表示在 n 個頂點上的第一個、第二個等此類圖（羅伊爾）。

許多連通三次對稱圖，包括F_(024)A，F_(060)A和F_(064)A都是凱萊圖。F_(024)A與廣義彼得森圖GP(12,5)同構，並且由福斯特（1932）、考克斯特（Coxeter，1950）和弗魯赫特（Frucht，1952）構造。弗魯赫特（1952）討論的“具有 64 個頂點和周長 8 的明顯新的對稱圖”是F_(064)A。F_(120)B是正二十面體的滾動多面體圖。

節點數為n=2, 4, ...的連通三次對稱圖的數量分別是 0, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 2, ... （OEIS A059282）。所有節點數不超過 60 的三次對稱圖都是哈密頓圖，除了彼得森圖（10 個節點）和考克斯特圖（28 個節點），因此哈密頓連通三次對稱圖的數量分別是 0, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 2, 0, 1, 1, ... (OEIS A091430)。連通三次對稱圖的前幾個階數是 4, 6, 8, 10, 14, 16, 18, 20, 20, 24, 26, 28, 30, 32, 38, 40, ... (OEIS A075124)。

下表總結了節點數不超過 102 的連通三次對稱圖。在此表中，H 表示哈密頓圖，* 表示沒有階數>1的LCF 表示法的圖。

F圖哈密頓性LCF 表示法
4A四面體圖是[-2]^4
6AK_(3,3) （效用圖）是[3,-3]^3
8A立方體圖是[3,-3]^4
10A彼得森圖否--
14A希伍德圖是[5,-5]^7
16A莫比烏斯-康托爾圖是[5,-5]^8
18A帕普斯圖是[5,7,-7,7,-7,-5]^3
20A十二面體圖是[10,7,4,-4,-7,10,-4,7,-7,4]^2
20B德薩格圖是[5,-5,9,-9]^5
24A諾魯圖是[5,-9,7,-7,9,-5]^4
26AF_(26)A是[7,-7]^(13)
28A考克斯特圖否--
30A塔特 8-籠是[-13,-9,7,-7,9,13]^5
32A戴克圖是[5,-5,13,-13]^8
38AF_(38)A是[15,-15]^(19)
40AF_(40)A是[15,9,-9,-15]^(10)
42AF_(42)A是[9,-9]^(21)
48AF_(48)A是[-7,9,19,-19,-9,7]^8
50AF_(50)A是[-21,-19,19,-19,19,-19,19,21,-21,21]^5
54AF_(54)A是[-13,-11,11,-11,11,13]^9
56AF_(56)A是[13,-11,11,13]^(14)
56BF_(56)B是[-28,-19,-12,-18,12,15,-15,-12,18,12,19,-28,-18,18]^4
56CF_(56)C是*
60AF_(60)A是[12,-17,-12,25,17,-26,-9,9,-25,26]^6
62AF_(62)A是[11,-11]^(31)
64AF_(64)A是[23,-11,-29,25,-25,29,11,-23]^8
72AF_(72)A是[-31,9,-5,5,-9,31]^(12)
74AF_(74)A是[-21,21]^(37)
78AF_(78)A是[-33,33]^(39)
80AF_(80)A是[-25,9,-9,25]^(20)
84AF_(84)A是*
86AF_(86)A是[-13,13]^(43)
90A福斯特圖是[17,-9,37,-37,9,-17]^(15)
96AF_(96)A是[-41,-39,39,41,-41,41,-41,41]^(12)
96BF_(96)B是[-45,-33,-15,45,-39,-21,-45,39,21,45,-15,15,-45,39,-39,45,33,27,-45,15,-27,45,-39,39]^4
98AF_(98)A是[-37,37]^(49)
98BF_(98)A是[-43,-41,41,-41,41,-41,41,-41,41,-41,41,43,-43,43]^7
102A比格斯-史密斯圖是*
SymmetricCubicGraphsAlternateEmbeddings

上面的圖顯示了一些選定的三次對稱圖的替代嵌入。

UnitDistanceCubicSymmetric

許多三次對稱圖（除了四面體圖、效用圖以及其他可能的情況）都具有單位距離嵌入，如上面主要由 Gerbracht（2008 年，私人通訊，2009 年 12 月至 2010 年 1 月）的嵌入所示。

另見

籠圖，三次圖，三次頂點傳遞圖，距離正則圖，LCF 表示法，四次對稱圖，五次對稱圖，對稱圖

使用 探索

參考文獻

Biggs, N. L. 代數圖論，第二版 英國劍橋：劍橋大學出版社，第147 頁，1993 年。Bouwer, I. Z.; Chernoff, W. W.; Monson, B.; and Star, Z. 福斯特普查。 Charles Babbage 研究中心，1988 年。Conder, M. 和 Dobcsányi, P. “頂點數不超過 768 的三價對稱圖。”組合數學，組合計算雜誌 40, 41-63, 2002。Conder, M. 和 Lorimer, P. “價數為 3 的對稱圖的自同構群。”組合理論雜誌，B 系列 47, 60-72, 1989。Conder, M. 和 Nedela, R. “小周長的對稱三次圖。”組合理論雜誌，B 系列 97, 757-768, 2007。Conder, M. “頂點數不超過 2048 的三價（三次）對稱圖。”http://www.math.auckland.ac.nz/~conder/symmcubic2048list.txt。Coxeter, H. S. M. “自對偶配置和正則圖。”美國數學學會公報 56, 413-455, 1950。Coxeter, H. S. M.; Frucht, R.; 和 Powers, D. L. 零對稱圖：群的三價圖正則表示。 紐約：學術出版社，1981 年。Foster, R. M. “電氣網路的幾何電路。”美國電氣工程師學會學報 51, 309-317, 1932。Frucht, R. “一個三度的單正則圖。”加拿大數學雜誌 4, 240-247, 1952。Harary, F. 圖論。 馬薩諸塞州雷丁：Addison-Wesley，第171-175 頁，1994 年。Pegg, E. Jr. “數學遊戲：三次對稱圖。”2003 年 12 月 30 日。http://www.maa.org/editorial/mathgames/mathgames_12_29_03.html。Read, R. C. 和 Wilson, R. J. 圖集。 英國牛津：牛津大學出版社，1998 年。Royle, G. “三次對稱圖（福斯特普查）。”http://school.maths.uwa.edu.au/~gordon/remote/foster/#census。Royle, G. “瀏覽圖表。”http://school.maths.uwa.edu.au/~gordon/remote/foster/tables.html。Sloane, N. J. A. 在“整數序列線上百科全書”中的序列 A059282，A075124 和 A091430。Wolfram, S. 一種新的科學。 伊利諾伊州香檳：Wolfram Media，第 1032 頁，2002 年。

在 上引用

三次對稱圖

引述本文

Weisstein, Eric W. “三次對稱圖。”來自——Wolfram 網路資源。https://mathworld.tw/CubicSymmetricGraph.html

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