術語“正方形”可以用來指代平方數（“
是 
的平方”）或幾何圖形，它是由邊長相等的凸四邊形構成，且邊與邊之間成直角，如上圖所示。換句話說，正方形是一個四條邊的正多邊形。
當用作符號時，
表示一個具有給定頂點的正方形幾何圖形，而 
有時用來表示圖的積（Clark 和 Suen 2000）。
正方形是等腰梯形、鳶形、平行四邊形、四邊形、矩形、菱形和梯形的特例。
正方形的對角線互相平分且垂直（在上圖中以紅色表示）。此外，它們平分每對對角（以藍色表示）。
邊長為 
的正方形的周長是
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(1)
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面積是
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(2)
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內切圓半徑 
、外接圓半徑 
和面積 
可以直接從邊長為 
且有 
條邊的正多邊形的通用公式計算得出：
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(3)
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(4)
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(5)
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單位正方形的多邊形對角線的長度為 
，有時被稱為畢達哥拉斯常數。
方程
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(6)
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給出了外接圓半徑為 1 的正方形，而
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(7)
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給出了外接圓半徑為 
的正方形。
如上圖所示，在單位正方形內部構建的正方形的面積可以按如下方式找到。如圖所示標記 
和 
，然後
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(8)
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(9)
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(10)
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展開
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(11)
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並求解 
得到
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(12)
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代入 
得到
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(13)
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陰影正方形的面積為
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(14)
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(Detemple 和 Harold 1996)。
正方形的直尺和圓規作圖很簡單。繪製線段 
並構造一個以 
為半徑的圓。然後構造透過 
的垂線 
。平分 
和 
以定位 
和 
，其中 
與 
相對。類似地，在另一個半圓上構造 
和 
。連線 
即可得到一個正方形。
已知正方形內部有無數個點，它們到正方形三個頂點的距離是有理數。將這些距離稱為 
、
和 
，其中 
是正方形的邊長，這些解滿足
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(15)
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（Guy 1994）。在這個問題中，
、
、
和 
中有一個能被 3 整除，一個能被 4 整除，一個能被 5 整除。目前尚不清楚是否存在到所有四個頂點的距離都是有理數的點，但這樣的解需要附加條件
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(16)
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在這個問題中，
能被 4 整除，並且 
、
、
和 
都是奇數。如果 
不能被 3 (5) 整除，那麼 
、
、
和 
中有兩個能被 3 (5) 整除（Guy 1994）。
在平行四邊形邊上向內或向外繪製的四個正方形的中心是另一個正方形的頂點（Yaglom 1962，pp. 96-97；Coxeter 和 Greitzer 1967，p. 84）。
