完美正方形剖分

一個正方形如果可以被剖分成若干個較小的正方形，且沒有兩個正方形相等，則稱為完美正方形剖分（或平方正方形）。正方形剖分中，如果正方形不必大小不同，則稱為珀金斯太太的被子。如果正方形的任何子集都不構成矩形，則稱該完美正方形為“簡單”的。

完美正方形剖分對應於平方數，這些平方數是平方數之和。因此，尋找這種正方形的最簡單地方可能被認為是平方角錐數。然而，只有兩個這樣的數字：1 和 4900，即使

事實證明，不可能將這 24 個正方形排列成一個 正方形。

莫龍（1925）構造了一個 完美矩形，由九個不同大小的正方形組成（笛卡爾 1971），但盧津聲稱完美正方形不可能構造。當 R. 斯普拉格在 1939 年發表了一個 55 正方形的完美正方形時，這一論斷被證明是錯誤的（威爾斯 1991）。萊歇特和特普金（1940）證明，一個矩形不能被剖分成少於九個不同的正方形（斯坦豪斯 1999，第 297 頁）。

威爾科克斯隨後發現了一個 24 正方形的完美正方形（威爾科克斯 1948, 1951；斯坦豪斯 1999，第 8-9 頁）。

1978 年，A. J. W. 杜伊韋斯泰因（Bouwkamp 和 Duijvestijn 1992）發現了一個階數為 21（可能的最低階數）的唯一簡單完美正方形。它由 21 個正方形組成，總邊長為 112，如上圖所示。

有一種簡單的表示法（有時稱為 Bouwkamp 程式碼）可以用來描述完美正方形。在這種表示法中，括號用於將頂部齊平的相鄰正方形分組，然後將這些組按順序放置在最高（和最左）可能的位置。例如，上面說明的 21 正方形表示為 [50, 35, 27], [8, 19], [15, 17, 11], [6, 24], [29, 25, 9, 2], [7, 18], [16], [42], [4, 37], [33]。

1940 年發現了一個邊長為 608 的複合 26 完美正方形（Brooks 等人 1940；Kraitchik 1942，第 198 頁）。貝勒 (1966) 說明了一個複合 28 正方形和一個簡單 38 正方形。加德納（1961，第 203 頁和 206 頁）說明了複合 39 正方形和 24 正方形。

階數為 且 的簡單完美正方形的數量為 1, 8, 12, 26, 160, 441, 1152, ... (OEIS A006983)。杜伊韋斯泰因的表 I 給出了 441 個 26 階簡單完美正方形的列表，其中最小的邊長為 212，最大的邊長為 825。斯金納（1993）給出了簡單完美平方正方形的最小可能邊長（以及每個的最小階數）為 110 (22)、112 (21)、120 (24)、139 (22)、140 (23)、...，複合完美平方正方形的最小可能邊長（以及每個的最小階數）為 175 (24)、235 (25)、288 (26)、324 (27)、325 (27)、...

實際上有三個邊長為 110 的簡單完美正方形。它們是 [60, 50], [23, 27], [24, 22, 14], [7, 16], [8, 6], [12, 15], [13], [2, 28], [26], [4, 21, 3], [18], [17]（22 階；由 A. J. W. 杜伊韋斯泰因發現）；[60, 50], [27, 23], [24, 22, 14], [4, 19], [8, 6], [3, 12, 16], [9], [2, 28], [26], [21], [1, 18], [17]（22 階；由 T. H. 威爾科克斯發現）；以及 [44, 29, 37], [21, 8], [13, 32], [28, 16], [15, 19], [12,4], [3, 1], [2, 14], [5], [10, 41], [38, 7], [31]（23 階；由 A. J. W. 杜伊韋斯泰因發現）。

D. 斯萊託開發了一種高效的演算法，用於查詢非簡單完美正方形，他稱之為矩形和“L”形增長序列。該演算法發現了一系列 24-32 階的複合完美正方形。