超球堆積

在二維空間中，對於相同的圓，存在兩種週期性的圓堆積：正方格子和六邊形格子。1940 年，費耶斯·托特證明了六邊形格子是所有可能的平面堆積中最密集的（Conway 和 Sloane 1993，第 8-9 頁）。

面心立方堆積是四維和五維空間中最密集的格子堆積的 аналог（類比物）。在八維空間中，最密集的格子堆積由兩個面心立方堆積的副本構成。在六維和七維空間中，最密集的格子堆積是八維情況的截面。在 24 維空間中，最密集的堆積似乎是 Leech 格子。對於高維度（-D），已知最密集的堆積是非格子的。

在 維空間中，超球的最密集格子堆積對於 , 2, ..., 8 是嚴格已知的，並且具有堆積密度 ，總結在下表中，該表還給出了相應的 埃爾米特常數 （Gruber 和 Lekkerkerker 1987，第 518 頁；Hilbert 和 Cohn-Vossen 1999，第 47 頁；Finch）以及相關的文獻引用。

			參考文獻
2			開普勒 1611, 1619; 拉格朗日 1773
3		2	開普勒 1611, 1619; 高斯 1840
4		4	科爾金和佐洛塔列夫 1877
5		8	科爾金和佐洛塔列夫 1877
6			布利克費爾特 1934, 巴恩斯 1957, 韋特奇金 1980
7		64	布利克費爾特 1934, 沃森 1966, 韋特奇金 1980
8		256	布利克費爾特 1934, 沃森 1966, 韋特奇金 1980

康威和斯隆 (1995) 給出了維度高達 10 的超球的最密集已知非格子堆積的堆積密度 。在 2016 年之前，沒有證明維度大於 3 的任何堆積是最優的（參見 Sloane 1998）。然而，在 2016 年，瑪麗娜·維亞佐夫斯卡宣佈證明了 格子提供了八維空間中的最優堆積（Knudson 2016, Morgan 2016）。此後不久，維亞佐夫斯卡和合作者宣佈了類似的證明，即 Leech 格子在 24 維空間中是最優的（Grossman 2016, Klarreich 2016）。

可以與給定單位圓相切的單位圓的最大數量是六個。對於球體，最大數量是 12 個。牛頓早在 1874 年證明發表之前就考慮過這個問題。在 維度中，可以與另一個超球相切的超球的最大數量被稱為親吻數。

以下示例說明了超球堆積有時違反直覺的性質。在以所有 座標為中心的 維空間中繪製單位 -球體。現在在原點放置一個額外的超球，使其與其他的超球相切。對於 在 2 和 8 之間的值，中心超球包含在超立方體內部，該超立方體的多胞形頂點位於其他球體的中心。然而，對於 ，中心超球剛好與中心的超立方體相切，而對於 ，中心超球部分位於超立方體外部。

這個事實可以透過找到從原點到 個超球之一的中心的距離來證明，該距離由下式給出

因此，中心球體的半徑為 。現在，從原點到超立方體的邊界面的中心的距離始終為 1（一個超球半徑），因此當 ，或 時，中心超球與超立方體相切，而對於 ，中心超球部分位於超立方體外部。