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楚-範德蒙恆等式

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楚-範德蒙恆等式

_2F_1(-n,b;c;1)=((c-b)_n)/((c)_n)
(1)

(對於 n in Z^+) 是 高斯超幾何定理 的一個特例

_2F_1(a,b;c;1)=((c-b)_(-a))/((c)_(-a))
(2)
=(Gamma(c)Gamma(c-a-b))/(Gamma(c-a)Gamma(c-b))
(3)

(適用於 R[c-a-b]>0)，其中 a 等於一個 負整數 -n。這裡，_2F_1(a,b;c;z) 是一個 超幾何函式，(a)_n=a(a+1)...(a+n-1) 是 坡赫哈默爾符號，並且 Gamma(z) 是一個 伽瑪函式（Bailey 1935, p. 3; Koepf 1998, p. 32）。這個恆等式有時也被稱為範德蒙定理。

恆等式

(x+a)_n=sum_(k=0)^n(n; k)(x)_k(a)_(n-k)
(4)

對於 n 為整數，其中 (n; k) 是一個 二項式係數，並且 (a) 再次是 坡赫哈默爾符號，有時也稱為楚-範德蒙恆等式 (Koepf 1998, p. 42)，或有時稱為範德蒙公式 (Boros and Moll 2004, p. 18)。方程 (4) 可以寫成

(x+a; n)=sum_(k=0)^n(x; k)(a; n-k),
(5)

這有時被稱為範德蒙卷積公式 (Roman 1984)。一個特例給出了恆等式

sum_(l=0)^(max(k,n))(m; k-l)(n; l)=(m+n; k).
(6)

最著名的特例來自取 m=k=n 並使用恆等式 (n; n-l)=(n; l) 在 (6) 中得到

sum_(l=0)^n(n; l)^2=(2n; n).
(7)

這些恆等式

sum_(k=0)^(n)(a; k)(b; n-k)=(a+b; n)
(8)
sum_(k=0)^(n)(n; k)(s; t-k)=(n+s; t)
(9)
sum_(k=0)^(n)(n; k)(s; t+k)=(n+s; n+t)
(10)

都是楚-範德蒙恆等式的特例 (Koepf 1998, p. 41)。

另請參閱

二項式定理, 高斯超幾何定理, q-楚-範德蒙恆等式, 運演算法微積分

使用 探索

參考文獻

Bailey, W. N. Generalised Hypergeometric Series. Cambridge, England: Cambridge University Press, 1935.Boros, G. and Moll, V. Irresistible Integrals: Symbolics, Analysis and Experiments in the Evaluation of Integrals. Cambridge, England: Cambridge University Press, 2004.Koepf, W. Hypergeometric Summation: An Algorithmic Approach to Summation and Special Function Identities. Braunschweig, Germany: Vieweg, 1998.Petkovšek, M.; Wilf, H. S.; and Zeilberger, D. A=B. Wellesley, MA: A K Peters, pp. 130 and 181-182, 1996. http://www.cis.upenn.edu/~wilf/AeqB.html.Roman, S. The Umbral Calculus. New York: Academic Press, p. 29, 1984.

在 中被引用

楚-範德蒙恆等式

引用為

Weisstein, Eric W. "楚-範德蒙恆等式。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/Chu-VandermondeIdentity.html

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