二項式定理

有幾個密切相關的結果，根據來源不同，它們都被稱為二項式定理。更令人困惑的是，其中一些（以及其他相關）結果也被稱為二項式公式、二項式展開和 二項式恆等式，而恆等式本身有時被簡單地稱為“二項級數”，而不是“二項式定理”。

二項式定理最一般的情況是 二項級數 恆等式

(1)

其中 是一個 二項式係數， 是一個實數。當 為整數，或 時，此級數收斂。Graham et al. (1994, p. 162) 將此一般形式稱為二項式定理。Arfken (1985, p. 307) 將此公式在 時的特殊情況稱為二項式定理。

當 是一個 正整數 時，該級數在 處終止，並且可以寫成以下形式

(2)

Abramowitz 和 Stegun (1972, p. 10) 將此形式的恆等式稱為二項式定理。

不同的術語總結在下表中。

“二項式定理”	來源
	Graham et al. (1994, p. 162)
	Arfken (1985, p. 307)
	Abramowitz 和 Stegun (1972, p. 10)

歐幾里得在公元前 300 年左右就知道 的情況下的二項式定理，帕斯卡在 1665 年出版的一本遺作小冊子中以現代形式陳述了它。帕斯卡的小冊子，以及他從 1654 年開始與費馬就該主題進行的通訊（並於 1679 年出版），是為紀念他而命名算術三角形的基礎。

牛頓 (1676) 表明該公式也適用於 負整數 ,

(3)

這就是所謂的 負二項級數，並且當 時收斂。

事實上，推廣式

(4)

對於所有複數 且 成立。

在眾多才華中，吉爾伯特和沙利文的輕歌劇《彭贊斯的海盜》中的斯坦利少將以他在“少將之歌”中對二項式定理的瞭解給海盜們留下了深刻印象，如下所示：“我是現代少將的典範，我掌握了植物、動物和礦物資訊，我瞭解英國國王，並且我引用歷史戰役，從馬拉松到滑鐵盧，按類別順序排列；我對數學問題也很熟悉，我理解方程，包括簡單方程和二次方程，關於二項式定理，我充滿了大量新聞——關於斜邊平方的許多令人愉快的事實。”