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古爾德多項式

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多項式 G_n(x;a,b) 由關聯的 謝弗序列 給出，其中

f(t)=e^(at)(e^(bt)-1),
(1)

其中 b!=0。 反函式（以及因此的 生成函式）不能透過代數方法計算，但 生成函式

sum_(k=0)^infty(G_k(x;a,b))/(k!)t^k=e^(xf^(-1)(t))
(2)

可以用以下求和式表示

f^(-1)(t)=sum_(k=1)^infty1/b(-(b+ak)/b; k-1)(t^k)/k.
(3)

這導致

G_n(x;a,b)=x/(x-an)((x-an)/b)_n
(4)

其中 (x)_n 是一個 遞降階乘。 前幾個是

G_0(x;a,b)=1
(5)
G_1(x;a,b)=x/b
(6)
G_2(x;a,b)=-((2a+b-x)x)/(b^2)
(7)
G_3(x;a,b)=((3a+b-x)(3a+2b-x)x)/(b^3)
(8)
G_4(x;a,b)=-((4a+b-x)(4a+2b-x)(4a+3b-x)x)/(b^4).
(9)

從 謝弗序列 獲得的二項式恆等式給出了廣義的 楚-範德蒙恆等式

(x+y)/(x+y-an)((x+y-an)/b; n) =sum_(k=0)^nx/(x-ak)y/(y-a(n-k))((x-ak)/b; k)((y-a(n-k))/b; n-k)
(10)

(Roman 1984, p. 69; 筆誤已更正)。

在特殊情況下 a=-b/2, 函式 f(t) 簡化為

f(t)=e^(bt/2)-e^(-bt/2)=2sinh(1/2bt),
(11)

這給出了 生成函式

sum_(k=0)^infty(G_k(x;-1/2b,b))/(k!)t^k=exp[(2xsinh^(-1)(1/2t))/b],
(12)

給出多項式

G_0(x;-1/2b,b)=1
(13)
G_1(x;-1/2b,b)=x/b
(14)
G_2(x;-1/2b,b)=(x^2)/(b^2)
(15)
G_3(x;-1/2b,b)=-(x(b-2x)(b+2x))/(4b^3)
(16)
G_4(x;-1/2b,b)=-(x^2(b-x)(b+x))/(b^4).
(17)

另請參閱

中心階乘, 遞降階乘, 謝弗序列

使用 探索

參考文獻

Gould, H. W. "Note on a Paper of Sparre-Anderson." Math. Scand. 6, 226-230, 1958.Gould, H. W. "Stirling Number Representation Problems." Proc. Amer. Math. Soc. 11, 447-451, 1960.Gould, H. W. "A Series of Transformation for Finding Convolution Identities." Duke Math. J. 28, 193-202, 1961.Gould, H. W. "Note on a Paper of Klamkin Concerning Stirling Numbers." Amer. Math. Monthly 68, 477-479, 1961.Gould, H. W. "A New Convolution Formula and Some New Orthogonal Relations for the Inversion of Series." Duke Math. J. 29, 393-404, 1962.Gould, H. W. "Congruences Involving Sums of Binomial Coefficients and a Formula of Jensen." Amer. Math. Monthly 69, 400-402, 1962.Roman, S. "The Gould Polynomials and he Central Factorial Polynomials." §4.1.4 in 符號微積分。 New York: Academic Press, pp. 67-70, 1984.Rota, G.-C.; Kahaner, D.; Odlyzko, A. "On the Foundations of Combinatorial Theory. VIII: Finite Operator Calculus." J. Math. Anal. Appl. 42, 684-760, 1973.

在 中被引用

古爾德多項式

請引用為

Weisstein, Eric W. "古爾德多項式。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/GouldPolynomial.html

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