序列 
到序列 
的變換 ![S[{a_n}_(n=0)^N]](/images/equations/StirlingTransform/Inline1.svg)
由以下公式給出
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(1)
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其中 
是第二類 Stirling 數。逆變換由下式給出
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(2)
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其中 
是第一類 Stirling 數（Sloane 和 Plouffe 1995, p. 23）。
下表總結了一些常見序列的 Stirling 變換，其中 ![[S]](/images/equations/StirlingTransform/Inline6.svg)
表示 Iverson 括號，
表示素數。
 | OEIS | ![S[{a_n}_(n=0)^N]](/images/equations/StirlingTransform/Inline9.svg) |
| 1 | A000110 | 1,
1, 2, 5, 15, 52, 203, ... |
 | A005493 | 0, 1, 3, 10, 37, 151, 674, ... |
 | A000110 | 1, 2, 5, 15, 52, 203, 877, ... |
![[n in P]](/images/equations/StirlingTransform/Inline12.svg) | A085507 | 0, 0, 1, 4, 13, 41, 136, 505, ... |
![[n even]](/images/equations/StirlingTransform/Inline13.svg) | A024430 | 1, 0, 1, 3, 8, 25, 97, 434, 2095, ... |
![[n odd]](/images/equations/StirlingTransform/Inline14.svg) | A024429 | 0, 1, 1, 2, 7, 27, 106, 443, ... |
 | A033999 | 1,  ,
1,  ,
1,  ,
... |
這裡，![S[{1}_(n=0)^N]](/images/equations/StirlingTransform/Inline19.svg)
給出了 Bell 數。
![S[{n}_(n=0)^N]](/images/equations/StirlingTransform/Inline20.svg)
具有指數生成函式
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(3)
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另請參閱
二項式變換、
尤拉變換、
指數變換、
莫比烏斯變換、
第一類 Stirling 數、
第二類 Stirling 數
使用 探索
參考文獻
Bernstein, M. 和 Sloane, N. J. A. "Some Canonical Sequences of Integers." Linear Algebra Appl. 226-228, 57-72, 1995.Graham, R. L.; Knuth, D. E.; 和 Patashnik, O. "Factorial Factors." §4.4 in Concrete Mathematics: A Foundation for Computer Science, 2nd ed. Reading, MA: Addison-Wesley, p. 252, 1994.Riordan, J. Combinatorial Identities. New York: Wiley, p. 90, 1979.Riordan, J. An Introduction to Combinatorial Analysis. New York: Wiley, p. 48, 1980.Sloane, N. J. A. 序列 A000110/M1483, A005493/M2851, A024429, A024430, A033999, A052437, 和 A085507 在 "整數序列線上百科全書" 中。Sloane, N. J. A. 和 Plouffe, S. The Encyclopedia of Integer Sequences. San Diego, CA: Academic Press, 1995.在 上被引用
Stirling 變換
請引用為
Weisstein, Eric W. "Stirling 變換。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/StirlingTransform.html
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