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尤拉-馬歇羅尼積分

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定義

I_n=(-1)^nint_0^infty(lnz)^ne^(-z)dz,
(1)

則

I_n=(-1)^nGamma^((n))(1),
(2)

其中 Gamma^((n))(z) 是 n 階 伽瑪函式 的導數。

特殊值包括

I_0=1
(3)
I_1=gamma
(4)
I_2=gamma^2+1/6pi^2
(5)
I_3=gamma^3+1/2gammapi^2+2zeta(3)
(6)
I_4=gamma^4+gamma^2pi^2-3/(20)pi^4+8gammazeta(3),
(7)

其中 gamma 是 尤拉-馬歇羅尼常數，而 zeta(3) 是 Apéry 常數。

另請參閱

尤拉-馬歇羅尼常數, 伽瑪函式, 多伽瑪函式

使用 探索

參考文獻

Boros, G. 和 Moll, V. Irresistible Integrals: Symbolics, Analysis and Experiments in the Evaluation of Integrals. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 213-214, 2004.Srivastava, H. M. 和 Choi, J. Series Associated with the Zeta and Related Functions. New York: Springer-verlag, 2006.

在 中引用

尤拉-馬歇羅尼積分

請引用為

Weisstein, Eric W. “尤拉-馬歇羅尼積分。” 來自 ——Wolfram 網路資源。 https://mathworld.tw/Euler-MascheroniIntegrals.html

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