多伽瑪函式

一種 特殊函式，最常用的符號是 , , 或 ，它由 階 導數 的 對數 的 伽瑪函式 （或者，根據定義，是 階乘 的導數）。 這等價於 階正常導數的 對數導數 的 (或 ) ，在前一種情況下，等價於 階正常導數的 雙伽瑪函式 。 由於定義的這種歧義，有時（但並非總是）使用兩種不同的符號，即

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對於 ，可以寫成

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其中 是 Hurwitz zeta 函式。

備用記號

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有時會使用，兩種記號透過下式關聯

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不幸的是，Morse 和 Feshbach (1953) 採用了一種不再常用的記號，其中 Morse 和 Feshbach 的 "" 等於通常記號中的 。 另請注意，函式 等價於 雙伽瑪函式 ，而 有時被稱為 三伽瑪函式。

在 Wolfram 語言 中實現為PolyGamma[n, z]，對於正整數 。 事實上，PolyGamma[nu, z] 支援所有複數 (Grossman 1976; Espinosa and Moll 2004)。

多伽瑪函式服從 遞推關係

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反射 公式

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和乘法 公式，

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其中 是 Kronecker delta。

多伽瑪函式與 Riemann zeta 函式 和廣義 調和數 相關，透過

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對於 , 2, ...，並根據 Hurwitz zeta 函式 表示為

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尤拉-馬歇羅尼常數 是 雙伽瑪函式 的一個特殊值，其中

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一般來說，整數索引的特殊值由下式給出

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給出 雙伽瑪函式、三伽瑪函式 和四伽瑪函式恆等式

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等等。

多伽瑪函式可以用 Clausen 函式 表示，對於 有理 自變數和整數索引。 特殊情況由下式給出

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其中 是 Catalan 常數， 是 Riemann zeta 函式，而 是 Dirichlet beta 函式。