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高斯 Digamma 定理

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對於有理數引數 p/q, digamma 函式 psi_0(p/q) 由下式給出

psi_0(p/q)=-gamma-ln(2q)-1/2picot(p/qpi) +2sum_(k=1)^([q/2]-1)cos((2pipk)/q)ln[sin((pik)/q)]
(1)

對於 0<p<q (Knuth 1997, p. 94)。 這些給出了特殊值

psi_0(1/2)=-gamma-2ln2
(2)
psi_0(1/3)=1/6(-6gamma-pisqrt(3)-9ln3)
(3)
psi_0(2/3)=1/6(-6gamma+pisqrt(3)-9ln3)
(4)
psi_0(1/4)=1/2(-2gamma-pi-6ln2)
(5)
psi_0(3/4)=1/2(-2gamma+pi-6ln2)
(6)
psi_0(1/6)=-gamma-1/2sqrt(3)pi-2ln2-3/2ln3
(7)
psi_0(5/6)=-gamma+1/2sqrt(3)pi-2ln2-3/2ln3
(8)
psi_0(1)=-gamma,
(9)

其中 gamma 是 尤拉-馬歇羅尼常數。

參見

Digamma 函式, 多伽瑪函式

使用 探索

參考文獻

Allouche, J.-P. "與整數的二進位制展開相關的級數和無限乘積。" 1992. http://algo.inria.fr/seminars/sem92-93/allouche.ps。Böhmer, E. Differenzengleichungen und bestimmte Integrale. 德國萊比錫: Teubner, p. 77, 1939。Erdélyi, A.; Magnus, W.; Oberhettinger, F.; 和 Tricomi, F. G. "The psi 函式。" §1.7 in 高等超越函式，第 1 卷。 紐約: Krieger, pp. 15-20, 1981。Gradshteyn, I. S. 和 Ryzhik, I. M. 公式 8.3636 in 積分表、級數和乘積，第 6 版。 加利福尼亞州聖地亞哥: Academic Press, 2000。Jensen, J. L. W. V. "伽瑪函數理論的初等闡述。" Ann. Math. 17, 124-166, 1915。Knuth, D. E. 計算機程式設計藝術，第 1 卷：基本演算法，第 3 版。 馬薩諸塞州雷丁: Addison-Wesley, 1997。Kölbig, K. S. "有理引數的 Cotangent 函式的多伽瑪函式和導數。" Report CN/96/5. CERN 計算和網路部門, 1996。Lösch, F. 和 Schoblik, F. Die Fakultät und verwandte Funktionen. 德國萊比錫: Teubner, p. 12, 1951。

在 上引用

高斯 Digamma 定理

引用為

Weisstein, Eric W. "高斯 Digamma 定理。" 來自 網路資源。 https://mathworld.tw/GausssDigammaTheorem.html

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