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克勞森函式

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ClausenFunction

定義

S_n(x)=sum_(k=1)^(infty)(sin(kx))/(k^n)
(1)
C_n(x)=sum_(k=1)^(infty)(cos(kx))/(k^n),
(2)

則克勞森函式定義為

Cl_n(x)={S_n(x)=sum_(k=1)^(infty)(sin(kx))/(k^n) n even; C_n(x)=sum_(k=1)^(infty)(cos(kx))/(k^n) n odd,
(3)

有時也寫作 psi_n(x) (Arfken 1985, p. 783)。

那麼克勞森函式 Cl_n(x) 可以用多重對數表示為

Cl_n(x)={1/2i[Li_n(e^(-ix))-Li_n(e^(ix))] n even; 1/2[Li_n(e^(-ix))+Li_n(e^(ix))] n odd.
(4)

對於 n=1，該函式呈現特殊形式

Cl_1(x)=C_1(x)=-ln|2sin(1/2x)|
(5)

對於 n=2，它變為克勞森積分

Cl_2(x)=S_2(x)=-int_0^xln[2sin(1/2t)]dt.
(6)

奇偶性相反的符號和可以符號求和，前幾個由下式給出

C_2(x)=1/6pi^2-1/2pix+1/4x^2
(7)
C_4(x)=1/(90)pi^4-1/(12)pi^2x^2+1/(12)pix^3-1/(48)x^4
(8)
S_1(x)=1/2(pi-x)
(9)
S_3(x)=1/6pi^2x-1/4pix^2+1/(12)x^3
(10)
S_5(x)=1/(90)pi^4x-1/(36)pi^2x^3+1/(48)pix^4-1/(240)x^5
(11)

對於 0<=x<=2pi (Abramowitz 和 Stegun 1972)。

另請參閱

克勞森積分, 洛巴切夫斯基函式, 多伽瑪函式, 多重對數

使用 探索

參考文獻

Abramowitz, M. and Stegun, I. A. (Eds.). "Clausen's Integral and Related Summations" §27.8 in 數學函式手冊，包含公式、圖表和數學表格，第 9 版。 New York: Dover, pp. 1005-1006, 1972.Arfken, G. 物理學家的數學方法，第 3 版。 Orlando, FL: Academic Press, 1985.Borwein, J. and Bailey, D. 實驗數學：21世紀的合理推理。 Wellesley, MA: A K Peters, pp. 89-90, 2003.Borwein, J.; Bailey, D.; and Girgensohn, R. 數學實驗：計算發現之路。 Wellesley, MA: A K Peters, p. 27, 2004.Borwein, J. M.; Broadhurst, D. J.; and Kamnitzer, J. "Central Binomial Sums, Multiple Clausen Values and Zeta Functions." Exp. Math. 10, 25-41, 2001.Clausen, R. "Über die Zerlegung reeller gebrochener Funktionen." J. reine angew. Math. 8, 298-300, 1832.Grosjean, C. C. "Formulae Concerning the Computation of the Clausen Integral Cl_2(alpha)." J. Comput. Appl. Math. 11, 331-342, 1984.Jolley, L. B. W. 級數求和。 London: Chapman, 1925.Lewin, L. 雙對數函式和相關函式。 London: Macdonald, pp. 170-180, 1958.Lewin, L. 多重對數函式和相關函式。 New York: North-Holland, 1981.Wheelon, A. D. 可求和級數簡表。 Report No. SM-14642. Santa Monica, CA: Douglas Aircraft Co., 1953.

參考

克勞森函式

請引用本文為

Weisstein, Eric W. "克勞森函式。" 來自 —— 資源。 https://mathworld.tw/ClausenFunction.html

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