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卡塔蘭常數

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卡塔蘭常數是一個常數，它通常出現在組合函式的估計以及某些類別的求和與定積分中。它通常用 K (本作品), G (例如，Borwein et al. 2004, p. 49), 或 C (Wolfram 語言) 表示。

卡塔蘭常數可以定義為

K=sum_(k=0)^infty((-1)^k)/((2k+1)^2)
(1)

(Glaisher 1877, 但他在這篇論文中沒有明確指出這個常數)。目前尚不清楚 K 是否為 無理數。

卡塔蘭常數在 Wolfram 語言 中實現為Catalan.

該常數以 E. C. Catalan (1814-1894) 的名字命名，他首先給出了等價的級數和積分表示式。數值上，

K=0.915965594177...
(2)

(OEIS A006752)。

K 可以透過以下解析表示式給出

K=beta(2)
(3)
=-ichi_2(i)
(4)
=1/(24)pi-1/2pilnA+4pizeta^'(-1,1/4),
(5)

其中 beta(z) 是 狄利克雷 beta 函式, chi_nu(z) 是 勒讓德 chi 函式, A 是 Glaisher-Kinkelin 常數, 並且 zeta^'(s,a) 是 赫爾維茨 zeta 函式 關於第一個引數的偏導數。

Glaisher (1913) 給出了

K=1-sum_(n=1)^infty(nzeta(2n+1))/(16^n)
(6)

(Vardi 1991, p. 159)。它也由以下求和給出

K=sum_(k=0)^(infty)1/((4k+1)^2)-sum_(k=0)^(infty)1/((4k+3)^2)
(7)
=-1/8pi^2+2sum_(k=0)^(infty)1/((4k+1)^2)
(8)
=1/8pi^2-2sum_(k=0)^(infty)1/((4k+3)^2)
(9)

方程 (◇) 和 (◇) 來自

zeta(2)=sum_(n=1)^infty1/(n^2)=1/6pi^2,
(10)

以及

sum_(n=1,3,...)1/(n^2)=sum_(n=1)^(infty)1/(n^2)-sum_(n=2,4,...)^(infty)1/(n^2)
(11)
=zeta(2)-1/4sum_(n=1)^(infty)1/(n^2)
(12)
=3/4zeta(2)
(13)
=1/8pi^2.
(14)

但是

sum_(n=1,3,...)1/(n^2)=sum_(k=0)^(infty)1/((4k+1)^2)+sum_(k=0)^(infty)1/((4k+3)^2)
(15)
=1/8pi^2,
(16)

因此將 (16) 與 (◇) 結合得到 (◇) 和 (◇)。

將 收斂加速 應用於 (◇) 得到

K=1/(16)sum_(m=1)^infty(m+1)(3^m-1)/(4^m)zeta(m+2),
(17)

其中 zeta(z) 是 黎曼 zeta 函式，並且使用了恆等式

1/((1-3z)^2)-1/((1-z)^2)=sum_(m=1)^infty(m+1)(3^m-1)/(4^m)z^m
(18)

已經使用 (Flajolet and Vardi 1996)。

O. Oloa (私人通訊，2005 年 12 月 30 日) 給出了一個漂亮的 雙重級數

sum_(i=1)^inftysum_(j=1)^infty((i-1)!(j-1)!)/((i+j)!)(4^(i+j))/((2i+2j+1)(2(i+j); i+j))=8(1-K).
(19)

有大量的 BBP 型公式，係數為 (-1)^k，前幾個是

K=sum_(k=0)^(infty)((-1)^k)/((2k+1)^2)
(20)
=4sum_(k=0)^(infty)((-1)^k)/((4k+2)^2)
(21)
=sum_(k=0)^(infty)(-1)^k[1/((6k+1)^2)-1/((6k+3)^2)+1/((6k+5)^2)]
(22)
=1/3sum_(k=0)^(infty)(-1)^k[2/((6k+1)^2)+7/((6k+3)^2)+2/((6k+5)^2)]
(23)
=sum_(k=0)^(infty)(-1)^k[1/((10k+1)^2)-1/((10k+3)^2)+1/((10k+5)^2)-1/((10k+7)^2)+1/((10k+9)^2)]
(24)
=1/3sum_(k=0)^(infty)(-1)^k[4/((10k+1)^2)-4/((10k+3)^2)-(21)/((10k+5)^2)-4/((10k+7)^2)+4/((10k+9)^2)]
(25)
=sum_(k=0)^(infty)(-1)^k[1/((14k+1)^2)-1/((14k+3)^2)+1/((14k+5)^2)-1/((14k+7)^2)+1/((14k+9)^2)-1/((14k+11)^2)+1/((14k+13)^2)]
(26)
=1/6sum_(k=0)^(infty)(-1)^k[5/((14k+1)^2)-5/((14k+3)^2)+5/((14k+5)^2)+(44)/((14k+7)^2)+5/((14k+9)^2)-5/((14k+11)^2)+5/((14k+13)^2)]
(27)

(E. W. Weisstein, 2006 年 2 月 26 日)。

BBP 型公式 恆等式，用於具有更高冪次的 K 包括

K=3/(64)sum_(k=0)^(infty)((-1)^k)/(64^k)[(32)/((12k+1)^2)-(32)/((12k+2)^2)-(32)/((12k+3)^2)-8/((12k+5)^2)-(16)/((12k+6)^2)-4/((12k+7)^2)-4/((12k+9)^2)-2/((12k+10)^2)+1/((12k+11)^2)]
(28)

(V. Adamchik, 私人通訊，2007 年 9 月 28 日),

K=5/(1024)sum_(k=0)^(infty)((-1)^k)/(1024^k)[(512)/((20k+1)^2)-(1536)/((20k+2)^2)+(256)/((20k+3)^2)+(512)/((20k+5)^2)+(384)/((20k+6)^2)-(64)/((20k+7)^2)+(32)/((20k+9)^2)+(64)/((20k+10)^2)+(64)/((20k+11)^2)+(16)/((20k+12)^2)-8/((20k+13)^2)+(24)/((20k+14)^2)+(16)/((20k+15)^2)+2/((20k+16)^2)+2/((20k+17)^2)-6/((20k+18)^2)+1/((20k+19)^2)]
(29)

(E. W. Weisstein, 2007 年 9 月 30 日),

K=1/(1024)sum_(k=0)^(infty)1/(4096^k)[(3072)/((24k+1)^2)-(3072)/((24k+2)^2)-(23040)/((24k+3)^2)+(12288)/((24k+4)^2)-(768)/((24k+5)^2)+(9216)/((24k+6)^2)+(10368)/((24k+8)^2)+(2496)/((24k+9)^2)-(192)/((24k+10)^2)+(768)/((24k+12)^2)-(48)/((24k+13)^2)+(360)/((24k+15)^2)+(648)/((24k+16)^2)+(12)/((24k+17)^2)+(168)/((24k+18)^2)+(48)/((24k+20)^2)-(39)/((24k+21)^2)]
(30)

(Borwein 和 Bailey 2003, p. 128), 和

K=1/(1024)sum_(k=0)^(infty)1/(4096^k)[(1024)/((24k+1)^2)+(1024)/((24k+2)^2)-(512)/((24k+3)^2)-(3072)/((24k+4)^2)-(256)/((24k+5)^2)-(2048)/((24k+6)^2)-(256)/((24k+7)^2)-(1152)/((24k+8)^2)-(320)/((24k+9)^2)+(64)/((24k+10)^2)+(64)/((24k+11)^2)-(16)/((24k+13)^2)+(64)/((24k+14)^2)+8/((24k+15)^2)-(72)/((24k+16)^2)+4/((24k+17)^2)-8/((24k+18)^2)+4/((24k+19)^2)-(12)/((24k+20)^2)+5/((24k+21)^2)+4/((24k+22)^2)-1/((24k+23)^2)]
(31)
=1/(3072)sum_(k=0)^(infty)1/(4096^k)[(5120)/((24k+1)^2)-(8192)/((24k+2)^2)-(2560)/((24k+3)^2)+(2560)/((24k+4)^2)-(1280)/((24k+5)^2)-(2048)/((24k+6)^2)-(512)/((24k+7)^2)-(832)/((24k+9)^2)-(512)/((24k+10)^2)+(128)/((24k+11)^2)-(128)/((24k+12)^2)-(80)/((24k+13)^2)+(16)/((24k+14)^2)+(40)/((24k+15)^2)+(20)/((24k+17)^2)+(40)/((24k+18)^2)+8/((24k+19)^2)+(10)/((24k+20)^2)+(13)/((24k+21)^2)+1/((24k+22)^2)-2/((24k+23)^2)]
(32)

(E. W. Weisstein, 2006 年 2 月 25 日)。

A. Lupas 給出了一個快速收斂的 Zeilberger 型求和

K=1/(64)sum_(k=1)^infty((-1)^(k-1)2^(8k)(40k^2-24k+3)[(2k)!]^3(k!)^2)/(k^3(2k-1)[(4k)!]^2)
(33)

(Lupas 2000)，它用於在 Wolfram 語言 中計算 K。這也可以寫成

K=-1/(64)sum_(k=1)^infty((-2^8)^k(40k^2-23k+3))/(k^3(2k-1)(4k; 2k)^2(2k; k))
(34)

(Campbell 2022)。使用 WZ 方法，Guillera (2019) 獲得了公式

K=1/2sum_(k=0)^infty((-2^6)^k(4k+3))/((2k+1)^3(2k; k)^3)
(35)

(Guillera 2019, Campbell 2022)。此外，Campbell (2022) 表明

K=-1/2-1/(16)sum_(k=1)^infty((-2^8)^k(40k^2+4k-1))/(k^2(4k+1)(2k; k)(4k; 2k)^2).
(36)

卡塔蘭常數也由以下積分給出

K=int_0^1(tan^(-1)xdx)/x
(37)
=int_0^13/xtan^(-1)[(x(1-x))/(2-x)]dx
(38)
=-int_0^1(lnxdx)/(1+x^2)
(39)
=1/2int_0^1K(k)dk
(40)
=-int_0^(pi/2)ln[2sin(1/2t)]dt
(41)
=int_0^(pi/4)ln(cotx)dx
(42)
=1/2int_0^(pi/2)xcscxdx
(43)
=pi/8int_(-infty)^infty(sechttanht)/tdt
(44)
=int_0^(pi/2)sinh^(-1)(sinx)dx
(45)
=1/2piln(1+sqrt(2))+int_0^(sinh^(-1)1)sin^(-1)(sinht)dt,
(46)

其中 (40) 來自 Mc Laughlin (2007; 這對應於 1/(-64)^k BBP 型公式), (41) 來自 Borwein et al. (2004, p. 106), (43) 來自 Glaisher (1877), (44) 來自 J. Borwein (私人通訊，2007 年 7 月 16 日), (45) 來自 Adamchik, 並且 (46) 來自 W. Gosper (私人通訊，2008 年 6 月 11 日)。這裡，K(k) (不要與卡塔蘭常數本身混淆) 是 第一類完全橢圓積分。Zudilin (2003) 給出了 單位正方形積分

K=1/8int_0^1int_0^1(dxdy)/((1-xy)sqrt(x(1-y))),
(47)

這是 二重積分 的模擬，zeta(2) 是 Beukers (1979) 給出的。

用 三伽瑪函式 psi_1(x) 表示，

K=1/(16)psi_1(1/4)-1/(16)psi_1(3/4)
(48)
=1/8pi^2-1/8psi_1(3/4)
(49)
=1/(32)psi_1(1/8)+1/(32)psi_1(5/8)-1/8pi^2
(50)
=1/8pi^2-1/(32)psi_1(3/8)-1/(32)psi_1(7/8)
(51)
=1/(64)[psi_1(1/8)-psi_1(3/8)+psi_1(5/8)-psi_1(7/8)]
(52)
=1/(80)psi_1(5/(12))+1/(80)psi_1(1/(12))-1/(10)pi^2
(53)
=1/(10)pi^2-1/(80)psi_1(7/(12))-1/(80)psi_1((11)/(12))
(54)
=1/(160)[psi_1(1/(12))+psi_1(5/(12))-psi_1(7/(12))-psi_1((11)/(12))].
(55)

卡塔蘭常數也出現在乘積中，例如

e^(-1/2+2K/pi)=lim_(n->infty)1/((4n+1)^(2n))product_(k=1)^n((4k-1)^(4k-1))/((4k-3)^(4k-3))
(56)

(Glaisher 1877)。

Zudilin (2003) 給出了 連分數

K=((13)/2)/(q(0)+)(1^4·2^4·p(0)p(2))/(q(1)+)... ...((2n-1)^4(2n)^4p(n-1)p(n+1))/(q(n)+)...,
(57)

其中

p(n)=20n^2-8n+1
(58)
q(n)=3520n^6+5632n^5+2064n^4-384n^3-156n^2+16n+7,
(59)

這是 Apéry (1979) 發現的 Apéry 常數 的連分數的模擬。

另請參閱

卡塔蘭常數近似, 卡塔蘭常數連分數, 卡塔蘭常數數字, 狄利克雷 Beta 函式

相關 Wolfram 站點

http://functions.wolfram.com/Constants/Catalan/

本條目部分由 Jonathan Sondow (作者連結) 貢獻

本條目部分由 Oleg Marichev 貢獻

使用 探索

參考文獻

Abramowitz, M. 和 Stegun, I. A. (編). 數學函式手冊，公式、圖表和數學表格，第 9 次印刷。 New York: Dover, pp. 807-808, 1972.Adamchik, V. "卡塔蘭常數的積分和級數表示。" http://www-2.cs.cmu.edu/~adamchik/articles/catalan.htm. Adamchik, V. "卡塔蘭常數的三十三種表示。" http://library.wolfram.com/infocenter/Demos/109/.Apéry, R. "zeta(2) 和 zeta(3) 的無理性。" Astérisque 61, 11-13, 1979.Arfken, G. 物理學家的數學方法，第 3 版。 Orlando, FL: Academic Press, pp. 551-552, 1985.Beukers, F. "關於 zeta(2) 和 zeta(3) 的無理性的註釋。" Bull. London Math. Soc. 11, 268-272, 1979.Borwein, J. 和 Bailey, D. 實驗數學：21 世紀的合理推理。 Wellesley, MA: A K Peters, 2003.Borwein, J.; Bailey, D.; 和 Girgensohn, R. 數學實驗：通往發現的計算路徑。 Wellesley, MA: A K Peters, 2004.Campbell, J. M. "來自 Chu 和 Kiliç 的恆等式的 WZ 證明，附應用。" Appl. Math. E-Notes, 22, 354-361, 2022.Catalan, E. "關於級數的變換，以及關於一些定積分。" Mémoires in 4 de l'Academie royale de Belgique, 1865.Catalan, E. "關於常數 G 的研究，以及關於尤拉積分。" Mémoires de l'Academie imperiale des sciences de Saint-Pétersbourg, Ser. 7, 31, 1883.Fee, G. J. "使用 Ramanujan 公式計算卡塔蘭常數。" ISAAC '90. Proc. Internat. Symp. Symbolic Algebraic Comp., Aug. 1990. Reading, MA: Addison-Wesley, 1990.Finch, S. R. "卡塔蘭常數。" §1.7 in 數學常數。 Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 53-59, 2003.Flajolet, P. 和 Vardi, I. "經典常數的 Zeta 函式展開。" 未發表的手稿。1996. http://algo.inria.fr/flajolet/Publications/landau.ps.Glaisher, J. W. L. "關於數值連乘積。" Messenger Math. 6, 71-76, 1877.Gosper, R. W. "級數重排的微積分。" In 演算法和複雜性：新方向和最新結果。1976 年卡內基梅隆會議論文集 (Ed. J. F. Traub). New York: Academic Press, pp. 121-151, 1976.Gosper, R. W. "今日思考。" math-fun@cs.arizona.edu 帖子, 1996 年 8 月 8 日。Guillera, J. "用於計算卡塔蘭常數的新公式。" 2019 年 5 月 8 日。 http://anamat.unizar. es/jguillera/other/catalan-form.pdf.Lupas, A. "一些經典常數的公式。" In ROGER-2000 會議論文集。 2000. http://www.lacim.uqam.ca/~plouffe/articles/alupas1.pdf.Mc Laughlin, J. "卡塔蘭常數的積分。" 2007 年 9 月 27 日。 http://listserv.nodak.edu/cgi-bin/wa.exe?A2=ind0709&L=nmbrthry&T=0&P=3444.Nielsen, N. 尤拉二對數。 Leipzig, Germany: Halle, pp. 105 和 151, 1909.Plouffe, S. "當前常數計算記錄表。" http://pi.lacim.uqam.ca/eng/records_en.html.Rivoal, T. 和 Zudilin, W. "與卡塔蘭常數相關的數的丟番圖性質。" Math. Ann. 326, 705-721, 2003. http://www.mi.uni-koeln.de/~wzudilin/beta.pdf.Sloane, N. J. A. 序列 A006752/M4593 在 "整數序列線上百科全書" 中。Srivastava, H. M. 和 Miller, E. A. "涉及卡塔蘭常數和黎曼 Zeta 函式的雙超幾何級數的簡單可約情況。" Int. J. Math. Educ. Sci. Technol. 21, 375-377, 1990.Vardi, I. Mathematica 中的計算娛樂。 Reading, MA: Addison-Wesley, p. 159, 1991.Yang, S. "卡塔蘭常數 G 的一些性質。" Int. J. Math. Educ. Sci. Technol. 23, 549-556, 1992.Zudilin, W. "卡塔蘭常數的類 Apéry 差分方程。" Electronic J. Combinatorics 10, No. 1, R14, 1-10, 2003. http://www.combinatorics.org/Volume_10/Abstracts/v10i1r14.html.

在 上被引用

卡塔蘭常數

請引用為

Marichev, Oleg; Sondow, Jonathan; 和 Weisstein, Eric W. "卡塔蘭常數。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/CatalansConstant.html

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