伽瑪分佈 -- 來自 - 數學天地

伽瑪分佈是一種通用的統計分佈型別，它與β分佈相關，並且自然地出現在泊松分佈事件之間等待時間相關的過程中。伽瑪分佈有兩個自由引數，標記為和，上面展示了其中一些。

考慮分佈函式，表示在給定變化率為的泊松分佈下，直到第個泊松事件發生的等待時間：

			(1)
			(2)
			(3)
			(4)
			(5)

對於，其中是完全伽瑪函式，而是不完全伽瑪函式。當為整數時，此分佈是稱為厄爾朗分佈的特殊情況。

相應的機率函式，表示直到第個泊松事件發生的等待時間的機率函式，透過對求導獲得：

			(6)
			(7)
			(8)
			(9)
		$lambdae^(-lambdax){1-sum_(k=1)^(h-1)[((lambdax)^(k-1))/((k-1)!)-((lambdax)^k)/(k!)]}$	(10)
		$lambdae^(-lambdax){1-[1-((lambdax)^(h-1))/((h-1)!)]}$	(11)
			(12)

現在令（不一定是整數），並定義為變化間隔時間。那麼上述方程可以寫成：

(13)

對於。這是伽瑪分佈的機率函式，相應的分佈函式是：

(14)

其中是正則化伽瑪函式。

它在Wolfram 語言中作為函式實現：GammaDistribution[alpha, theta].

描述此分佈的特徵函式是：

		$F_x{(x^(-x/theta)x^(alpha-1))/(Gamma(alpha)theta^alpha)[1/2(1+sgnx)]}(t)$	(15)
			(16)

其中是引數為的傅立葉變換，而矩量生成函式是：

			(17)
			(18)

給出關於 0 的矩為：

(19)

（Papoulis 1984，第 147 頁）。

為了明確找到使用矩量生成函式的分佈矩，令：

			(20)
			(21)

因此：

			(22)
			(23)
			(24)

給出對數矩量生成函式為：

			(25)
			(26)
			(27)

均值、方差、偏度和超額峰度分別是：

			(28)
			(29)
			(30)
			(31)

伽瑪分佈與其他統計分佈密切相關。如果、、...、是獨立的隨機變數，它們具有引數為、、...、的伽瑪分佈，則也服從伽瑪分佈，引數為：

			(32)
			(33)

此外，如果和是獨立的隨機變數，它們具有引數為和的伽瑪分佈，則是引數為的β分佈變數。兩者都可以如下推匯出來。

(34)

設：

(35)

(36)

則雅可比行列式為：

(37)

因此：

(38)

			(39)
			(40)

因此，和的分佈為：

(41)

這是一個伽瑪分佈，比率的分佈為：

			(42)
			(43)
			(44)

其中是β函式，這是一個β分佈。

如果和是引數分別為和的伽瑪變數，則是引數為和的β' 分佈變數。設：

(45)

則雅可比行列式為：

(46)

因此：

(47)

			(48)
			(49)

因此，比率的分佈為：

(50)

這是一個引數為的β' 分佈。

伽瑪分佈的“標準形式”透過令給出，因此且：

			(51)
			(52)
			(53)

因此，關於 0 的矩為：

			(54)
			(55)
			(56)

其中是波赫哈默爾符號。關於的矩為：

			(57)
			(58)
			(59)
			(60)

矩量生成函式為：

(61)

累積量生成函式為：

(62)

因此累積量為：

(63)

如果是正態變數，均值為，標準差為，則：

(64)

是引數為的標準伽瑪變數。

伽瑪分佈

另請參閱

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參考文獻

在中被引用

引用為

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