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正則伽瑪函式

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正則伽瑪函式定義如下：

P(a,z)=(gamma(a,z))/(Gamma(a))
(1)
Q(a,z)=(Gamma(a,z))/(Gamma(a)),
(2)

其中 gamma(a,z) 和 Gamma(a,z) 是不完全伽瑪函式，而 Gamma(a) 是完全伽瑪函式。 函式 P(a,z) 在 Wolfram 語言中實現為GammaRegularized[a, 0, z]，而 Q(a,z) 實現為GammaRegularized[a, z]。

P(a,z) 和 Q(a,z) 滿足以下恆等式

P(a,z)+Q(a,z)=1.
(3)

P(a,z) 和 Q(a,z) 的導數為

d/(dz)P(a,z)=(e^(-z)z^(a-1))/(Gamma(a))
(4)
d/(dz)Q(a,z)=-(e^(-z)z^(a-1))/(Gamma(a)),
(5)

二階導數為

(d^2)/(dz^2)P(a,z)=(e^(-z)(a-z-1)z^(a-2))/(Gamma(a))
(6)
(d^2)/(dz^2)Q(a,z)=(e^(-z)(1+z-a)z^(a-2))/(Gamma(a)).
(7)

積分如下：

intP(a,z)dz=(zGamma(a)-zGamma(a,z)+Gamma(a+1,z))/(Gamma(a))
(8)
intQ(a,z)dz=(zGamma(a,z)-Gamma(a+1,z))/(Gamma(a)).
(9)

另請參閱

伽瑪函式, 不完全伽瑪函式, 正則貝塔函式

相關 Wolfram 網站

http://functions.wolfram.com/GammaBetaErf/GammaRegularized/, http://functions.wolfram.com/GammaBetaErf/GammaRegularized3/

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參考文獻

Press, W. H.; Flannery, B. P.; Teukolsky, S. A.; 和 Vetterling, W. T. FORTRAN 數值分析：科學計算的藝術，第二版。 Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 160-161, 1992.

在 中引用

正則伽瑪函式

請引用為

Weisstein, Eric W. "正則伽瑪函式。" 來自 —— 資源。 https://mathworld.tw/RegularizedGammaFunction.html

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