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矩量生成函式

給定一個 隨機變數 x 和一個 機率密度函式 P(x)，如果存在一個 h>0 使得

M(t)=<e^(tx)>
(1)

對於 |t|<h，其中 <y> 表示 期望值 y，那麼 M(t) 被稱為矩量生成函式。

對於連續分佈，

M(t)=int_(-infty)^inftye^(tx)P(x)dx
(2)
=int_(-infty)^infty(1+tx+1/(2!)t^2x^2+...)P(x)dx
(3)
=1+tm_1^'+1/(2!)t^2m_2^'+...,
(4)

其中 m_r^' 是第 r 階 原點矩。

對於獨立的 X 和 Y，矩量生成函式滿足

M_(x+y)(t)=<e^(t(x+y))>
(5)
=<e^(tx)e^(ty)>
(6)
=<e^(tx)><e^(ty)>
(7)
=M_x(t)M_y(t).
(8)

如果 M(t) 在零點處可微，那麼關於 原點 的第 n 階 矩 由 M^((n))(0) 給出

M(t)=<e^(tx)> M(0)=1
(9)
M^'(t)=<xe^(tx)> M^'(0)=<x>
(10)
M^('')(t)=<x^2e^(tx)> M^('')(0)=<x^2>
(11)
M^((n))(t)=<x^ne^(tx)> M^((n))(0)=<x^n>.
(12)

均值 和 方差 因此為

mu=<x>
(13)
=M^'(0)
(14)
sigma^2=<x^2>-<x>^2
(15)
=M^('')(0)-[M^'(0)]^2.
(16)

同樣成立的是

mu_n=sum_(j=0)^n(n; j)(-1)^(n-j)mu_j^'(mu_1^')^(n-j),
(17)

其中 mu_0^'=1 且 mu_j^' 是第 j 階 原點矩。

有時，使用矩量生成函式的 對數 更簡單，這也被稱為 累積量生成函式，其定義為

R(t)=ln[M(t)]
(18)
R^'(t)=(M^'(t))/(M(t))
(19)
R^('')(t)=(M(t)M^('')(t)-[M^'(t)]^2)/([M(t)]^2).
(20)

但是 M(0)=<1>=1，所以

mu=M^'(0)=R^'(0)
(21)
sigma^2=M^('')(0)-[M^'(0)]^2=R^('')(0).
(22)

另請參閱

特徵函式, 累積量, 累積量生成函式, 矩

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參考文獻

Kenney, J. F. 和 Keeping, E. S. "矩量生成函式和特徵函式"、"矩量生成函式的一些例子" 和 "特徵函式的唯一性定理"。§4.6-4.8 in 統計數學，第 2 部分，第 2 版。 Princeton, NJ: Van Nostrand, pp. 72-77, 1951。

在 中被引用

矩量生成函式

請引用本文為

Weisstein, Eric W. "矩量生成函式。" 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/Moment-GeneratingFunction.html

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