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Erfc

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Erfc

Erfc 是互補誤差函式，通常表示為 erfc(z), 是一個由以下定義的整函式

erfc(z)=1-erf(z)
(1)
=2/(sqrt(pi))int_z^inftye^(-t^2)dt.
(2)

它在 Wolfram 語言中實現為Erfc[z].

請注意，一些作者（例如，Whittaker 和 Watson 1990, p. 341）將 erfc(z) 定義為沒有前導因子 2/sqrt(pi)。

對於 z>0，

erfc(z)=(Gamma(1/2,z^2))/(sqrt(pi)),
(3)

其中 Gamma(a,x) 是不完全伽瑪函式。

導數由下式給出

d/(dz)erfc(z)=-(2e^(-z^2))/(sqrt(pi)),
(4)

不定積分由下式給出

interfc(z)dz=zerfc(z)-(e^(-z^2))/(sqrt(pi))+C.
(5)

它具有特殊值

erfc(-infty)=2
(6)
erfc(0)=1
(7)
erfc(infty)=0.
(8)

它滿足恆等式

erfc(-x)=2-erfc(x).
(9)

它具有定積分

int_0^inftyerfc(x)dx=1/(sqrt(pi))
(10)
int_0^inftyerfc^2(x)dx=(2-sqrt(2))/(sqrt(pi))
(11)
int_0^inftysin(x^2)erfc(x)dx=(pi-2sinh^(-1)1)/(4sqrt(2pi)).
(12)
ErfcBounds

對於 x>0, erfc(x) 的界限為

2/(sqrt(pi))(e^(-x^2))/(x+sqrt(x^2+2))<erfc(x)<=2/(sqrt(pi))(e^(-x^2))/(x+sqrt(x^2+4/pi)).
(13)
ErfcReImAbs
最小值 最大值
Re
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Erfc 也可以擴充套件到複平面，如上圖所示。

Erfci

一個泛化是從 erfc 微分方程獲得的

(d^2y)/(dz^2)+2z(dy)/(dz)-2ny=0
(14)

(Abramowitz 和 Stegun 1972, p. 299; Zwillinger 1997, p. 122)。通解為

y=Aerfc_n(z)+Berfc_n(-z),
(15)

其中 erfc_n(z) 是重複 erfc 積分。對於整數 n>=1，

erfc_n(z)=int_z^infty...int_z^infty_()_(n)erfc(z)dz
(16)
=-2/(sqrt(pi))int_z^infty((t-z)^n)/(n!)e^(-t^2)dt
(17)
=(e^(-z^2))/(sqrt(pi)n!)[Gamma(1/2(n+1))_1F_1(1/2(n+1);1/2;z^2)-nz_1F_1(1+1/2n;3/2;z^2)]
(18)
=2^(-n)e^(-z^2)[(_1F_1(1/2(n+1);1/2;z^2))/(Gamma(1+1/2n))-(2z_1F_1(1+1/2n;3/2;z^2))/(Gamma(1/2(n+1)))]
(19)

(Abramowitz 和 Stegun 1972, p. 299), 其中 _1F_1(a;b;z) 是第一類合流超幾何函式，Gamma(z) 是伽瑪函式。前幾個值，由 n=-1 和 0 的定義擴充套件，由下式給出

erfc_0(z)=erfc(z)
(20)
erfc_1(z)=(e^(-z^2))/(sqrt(pi))-zerfc(z)
(21)
erfc_2(z)=1/4[(1+2z^2)erfc(z)-(2ze^(-z^2))/(sqrt(pi))].
(22)

另請參閱

Erf, Erfc 微分方程, Erfi, Hh 函式, 反 Erfc

相關 Wolfram 站點

http://functions.wolfram.com/GammaBetaErf/Erfc/

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參考文獻

Abramowitz, M. and Stegun, I. A. (Eds.). "Repeated Integrals of the Error Function." §7.2 in 數學函式手冊，包含公式、圖表和數學表格，第 9 版。 New York: Dover, pp. 299-300, 1972.Arfken, G. 物理學家的數學方法，第 3 版。 Orlando, FL: Academic Press, pp. 568-569, 1985.Press, W. H.; Flannery, B. P.; Teukolsky, S. A.; and Vetterling, W. T. "Incomplete Gamma Function, Error Function, Chi-Square Probability Function, Cumulative Poisson Function." §6.2 in FORTRAN 數值方法：科學計算的藝術，第 2 版。 Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 209-214, 1992.Spanier, J. and Oldham, K. B. "The Error Function erf(x) and Its Complement erfc(x)" and "The exp(x) and erfc(sqrt(x)) and Related Functions." Chs. 40 and 41 in 函式圖集。 Washington, DC: Hemisphere, pp. 385-393 and 395-403, 1987.Whittaker, E. T. and Watson, G. N. 現代分析教程，第 4 版。 Cambridge, England: Cambridge University Press, 1990.Zwillinger, D. 微分方程手冊，第 3 版。 Boston, MA: Academic Press, p. 122, 1997.

在 中引用

Erfc

引用為

Weisstein, Eric W. "Erfc." 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/Erfc.html

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