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逆 Erfc


InverseErfc

逆 erf 函式是 反函式 erfc^(-1)(z),它是 erfc(x) 的反函式,使得

 erfc(erfc^(-1)(x))=erfc^(-1)(erfc(x)),
(1)

第一個恆等式對 0<x<2 成立,第二個恆等式對 x in R 成立。它在 Wolfram 語言 中實現為InverseErfc[z]。

它與 逆 erf 相關,關係如下:

 erfc^(-1)(1-x)=erf^(-1)(x).
(2)

它具有特殊值:

erfc^(-1)(0)=infty
(3)
erfc^(-1)(1)=0
(4)
erfc^(-1)(2)=-infty.
(5)

它具有導數

 d/(dx)erfc^(-1)(x)=-1/2sqrt(pi)e^([erfc^(-1)(x)]^2),
(6)

並且它的不定積分是:

 interfc^(-1)(x)dx=(e^(-[erfc^(-1)(x)]^2))/(sqrt(pi))
(7)

(這來自 Parker 1955 年的方法)。

關於 1 的 泰勒級數 由下式給出:

 erfc^(-1)(x-1)=-1/2sqrt(pi)(x-1)-1/(24)pi^(3/2)(x-1)^3-7/(960)pi^(5/2)(x-1)^5-(127)/(80640)pi^(7/2)(x-1)^7-...
(8)

(OEIS A002067A007019)。


另請參見

Erfc, 逆 Erf

相關的 Wolfram 站點

http://functions.wolfram.com/GammaBetaErf/InverseErfc/

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參考文獻

Bergeron, F.; Labelle, G.; and Leroux, P. Ch. 5 in Combinatorial Species and Tree-Like Structures. Cambridge, England: Cambridge University Press, 1998.Carlitz, L. "The Inverse of the Error Function." Pacific J. Math. 13, 459-470, 1963.Parker, F. D. "Integrals of Inverse Functions." Amer. Math. Monthly 62, 439-440, 1955.Sloane, N. J. A. Sequences A002067/M4458, A007019/M3126, A092676, and A092677 in "The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences."

請引用為

Weisstein, Eric W. “逆 Erfc。” 來自 Web 資源。 https://mathworld.tw/InverseErfc.html

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